Номер 348, страница 70, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

348 1) Возьми какую-нибудь правильную дробь, прибавь к её числителю и знаменателю по 3. Как и на сколько изменилась дробь?

2) Возьми какую-нибудь неправильную дробь, прибавь к её числителю и знаменателю по 3. Как и на сколько изменилась дробь?

3) Возьми какую-нибудь дробь, равную 1, прибавь к её числителю и знаменателю по 3. Как и на сколько изменилась дробь?

4) Проанализируй результаты решения предыдущих задач и сформулируй гипотезу. Можно ли считать полученное утверждение верным на основании рассмотренных примеров? Почему?

1)

Возьмем какую-нибудь правильную дробь, например $\frac{2}{5}$. Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Прибавим к ее числителю и знаменателю по 3:

$ \frac{2+3}{5+3} = \frac{5}{8} $

Теперь сравним исходную дробь $\frac{2}{5}$ и новую дробь $\frac{5}{8}$. Для этого приведем их к общему знаменателю, который равен 40:

$ \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 8}{5 \cdot 8} = \frac{16}{40} $

$ \frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{25}{40} $

Так как $ \frac{25}{40} > \frac{16}{40} $, то $ \frac{5}{8} > \frac{2}{5} $. Следовательно, дробь увеличилась.

Найдем, на сколько она изменилась, для этого вычтем из новой дроби исходную:

$ \frac{5}{8} - \frac{2}{5} = \frac{25}{40} - \frac{16}{40} = \frac{9}{40} $

Ответ: дробь увеличилась на $\frac{9}{40}$.

2)

Возьмем какую-нибудь неправильную дробь, например $\frac{7}{4}$. Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше знаменателя. Прибавим к ее числителю и знаменателю по 3:

$ \frac{7+3}{4+3} = \frac{10}{7} $

Теперь сравним исходную дробь $\frac{7}{4}$ и новую дробь $\frac{10}{7}$. Приведем их к общему знаменателю, который равен 28:

$ \frac{7}{4} = \frac{7 \cdot 7}{4 \cdot 7} = \frac{49}{28} $

$ \frac{10}{7} = \frac{10 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{40}{28} $

Так как $ \frac{40}{28} < \frac{49}{28} $, то $ \frac{10}{7} < \frac{7}{4} $. Следовательно, дробь уменьшилась.

Найдем, на сколько она изменилась, для этого вычтем из исходной дроби новую:

$ \frac{7}{4} - \frac{10}{7} = \frac{49}{28} - \frac{40}{28} = \frac{9}{28} $

Ответ: дробь уменьшилась на $\frac{9}{28}$.

3)

Возьмем какую-нибудь дробь, равную 1, например, $\frac{5}{5}$.

Прибавим к ее числителю и знаменателю по 3:

$ \frac{5+3}{5+3} = \frac{8}{8} $

Исходная дробь $ \frac{5}{5} = 1 $. Новая дробь $ \frac{8}{8} = 1 $.

Дробь не изменилась, ее значение осталось равным 1. Изменение равно 0.

$ \frac{8}{8} - \frac{5}{5} = 1 - 1 = 0 $

Ответ: дробь не изменилась.

4)

На основе анализа результатов предыдущих задач можно сформулировать следующую гипотезу. Если к числителю и знаменателю положительной дроби прибавить одно и то же положительное число (в нашем случае 3), то:

- если дробь правильная (меньше 1), она увеличится; - если дробь неправильная (больше 1), она уменьшится; - если дробь равна 1, она не изменится.
Считать полученное утверждение верным на основании рассмотренных примеров нельзя. В математике утверждение считается доказанным, только если оно верно для всех без исключения случаев, а не только для нескольких выбранных примеров. Метод, при котором на основании частных случаев делается общий вывод, называется индукцией, и она не является строгим доказательством в математике. Рассмотренные примеры лишь помогают выдвинуть гипотезу, но для ее подтверждения требуется общее алгебраическое доказательство.

Ответ: гипотеза: если к числителю и знаменателю положительной дроби прибавить положительное число, то правильная дробь увеличится, неправильная (больше 1) уменьшится, а равная 1 не изменится. Считать утверждение верным на основании примеров нельзя, так как примеры не являются строгим математическим доказательством.