Номер 354, страница 71, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

354 Используя циркуль и линейку, построй 3 различных ромба, длина стороны каждого из которых равна 4 см. Сформулируй гипотезу о свойстве углов ромба и проверь её для построенных ромбов с помощью измерений.

Построение 3 различных ромбов со стороной 4 см

По определению, ромб — это четырехугольник, у которого все стороны равны. Для построения будем использовать циркуль и линейку без делений (для измерения длины в 4 см воспользуемся линейкой один раз для установки раствора циркуля). Длина стороны каждого ромба равна 4 см.

• Ромб 1 (с острым углом 60°)

  1. С помощью линейки строим отрезок AD длиной 4 см.
  2. Устанавливаем раствор циркуля равным 4 см.
  3. Строим дугу окружности с центром в точке A и радиусом 4 см.
  4. Строим дугу окружности с центром в точке D и радиусом 4 см.
  5. Точку пересечения этих дуг обозначим B. Треугольник ABD будет равносторонним, так как все его стороны равны 4 см.
  6. Из точек B и D проводим еще две дуги радиусом 4 см. Точку их пересечения (отличную от A) обозначаем C.
  7. Соединяем точки A, B, C, D последовательно. Полученная фигура ABCD — ромб, так как все его стороны равны 4 см.

• Ромб 2 (произвольной формы)

  1. Строим отрезок AD длиной 4 см.
  2. Устанавливаем раствор циркуля равным 4 см.
  3. Из центра в точке A проводим большую дугу.
  4. Выбираем на этой дуге любую точку B (не совпадающую с D, если бы оно лежало на дуге). Соединяем A и B. Сторона AB равна 4 см.
  5. Не меняя раствора циркуля (4 см), проводим дугу из центра в точке B и дугу из центра в точке D.
  6. Точку пересечения этих двух дуг обозначаем C.
  7. Соединяем точки B с C и D с C. Фигура ABCD — второй ромб. Его форма (острота углов) зависит от первоначального выбора точки B на дуге.

• Ромб 3 (квадрат)

  1. Строим отрезок AD длиной 4 см.
  2. С помощью циркуля и линейки строим в точке A перпендикуляр к отрезку AD.
  3. На этом перпендикуляре откладываем отрезок AB длиной 4 см, используя циркуль с раствором 4 см.
  4. С тем же раствором циркуля (4 см) проводим дугу из центра в точке B и дугу из центра в точке D.
  5. Точку пересечения дуг обозначаем C.
  6. Соединяем точки. Фигура ABCD — квадрат, который является частным случаем ромба.

Гипотеза о свойстве углов ромба

Гипотеза: у любого ромба противолежащие углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, составляет 180°.

Математически для ромба ABCD это означает: $ \angle A = \angle C $, $ \angle B = \angle D $, а также $ \angle A + \angle B = 180^{\circ} $, $ \angle B + \angle C = 180^{\circ} $ и т.д.

Проверка гипотезы для построенных ромбов с помощью измерений

Проверим гипотезу, измерив углы построенных ромбов с помощью транспортира. В данном решении мы приведем теоретические значения, которые подтвердились бы при точном измерении.

• Для Ромба 1:

  При построении мы получили равносторонний треугольник ABD, поэтому $ \angle A = 60^{\circ} $. Согласно гипотезе, противолежащий угол $ \angle C $ также должен быть равен 60°. Углы, прилежащие к одной стороне, должны в сумме давать 180°, поэтому $ \angle B = \angle D = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} $.

  Проверка измерением: Измерения транспортиром покажут, что $ \angle A \approx 60^{\circ} $, $ \angle C \approx 60^{\circ} $, $ \angle B \approx 120^{\circ} $, $ \angle D \approx 120^{\circ} $. Противолежащие углы равны, сумма соседних $ 60^{\circ} + 120^{\circ} = 180^{\circ} $. Гипотеза подтверждается.

• Для Ромба 2:

  Допустим, при построении мы выбрали точку B так, что острый угол $ \angle A $ получился равным примерно 45°. Тогда, согласно гипотезе, противолежащий ему угол $ \angle C $ должен быть равен 45°. Остальные два угла будут равны $ \angle B = \angle D = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ} $.

  Проверка измерением: Измерения покажут, что $ \angle A = \angle C \approx 45^{\circ} $ и $ \angle B = \angle D \approx 135^{\circ} $. Сумма соседних углов $ 45^{\circ} + 135^{\circ} = 180^{\circ} $. Гипотеза подтверждается.

• Для Ромба 3 (квадрата):

  При построении мы задали прямой угол $ \angle A = 90^{\circ} $. По гипотезе, $ \angle C = \angle A = 90^{\circ} $ и $ \angle B = \angle D = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} $. То есть все углы прямые.

  Проверка измерением: Измерения покажут, что все четыре угла равны 90°. Противолежащие углы равны ($ 90^{\circ} = 90^{\circ} $). Сумма соседних углов равна $ 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} $. Гипотеза подтверждается.

Ответ: Были описаны построения трех различных ромбов со стороной 4 см (один с углом 60°, один произвольной формы и квадрат). Была сформулирована гипотеза: противолежащие углы ромба равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Проверка для всех трех построенных ромбов подтвердила данную гипотезу.