Номер 359, страница 72, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

359 Из шахматной доски вырезали 2 угловые клетки, расположенные на одной диагонали. Можно ли оставшуюся часть доски покрыть 31-й косточкой домино так, чтобы каждая косточка покрывала ровно две клетки доски?

Для решения этой задачи воспользуемся методом раскраски. Стандартная шахматная доска размером $8 \times 8$ состоит из 64 клеток. В классической раскраске на ней 32 белые и 32 черные клетки.

Косточка домино имеет размер $1 \times 2$ и, будучи размещенной на шахматной доске, всегда покрывает две соседние клетки. Соседние клетки на шахматной доске всегда имеют разный цвет. Следовательно, каждая косточка домино покрывает ровно одну белую и одну черную клетку.

Это означает, что любая область, которую можно полностью покрыть косточками домино без перекрытий, должна содержать одинаковое количество белых и черных клеток.

В условии задачи сказано, что вырезали две угловые клетки, расположенные на одной диагонали. На шахматной доске клетки, расположенные на одной диагонали, имеют одинаковый цвет. Например, угловые клетки a1 и h8 обе белые (или черные, в зависимости от ориентации доски). Аналогично, угловые клетки a8 и h1 обе черные. Таким образом, с доски удалили две клетки одного цвета.

Пусть, для определенности, с доски удалили две белые клетки. Изначально на доске было 32 белые и 32 черные клетки. После удаления двух белых клеток на доске останется:

$32 - 2 = 30$ белых клеток,

$32$ черные клетки.

Всего на оставшейся части доски $64 - 2 = 62$ клетки. Нам предлагается покрыть их 31-й косточкой домино ($31 \times 2 = 62$). Если бы такое покрытие было возможно, то 31 косточка домино покрыла бы 31 белую и 31 черную клетку.

Однако на оставшейся части доски количество белых (30) и черных (32) клеток не совпадает. Из-за этого несоответствия покрыть оставшуюся часть доски косточками домино невозможно.

Ответ: Нет, нельзя.