Номер 45, страница 13, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

45 Построй 3 угла, в сумме образующих развёрнутый угол, так, чтобы первый из них был в 2 раза больше второго, а третий — в 3 раза больше первого.

Для решения задачи обозначим величины трех углов как $\alpha_1$, $\alpha_2$ и $\alpha_3$.

По условию задачи, сумма этих трех углов образует развернутый угол, градусная мера которого составляет $180^\circ$. Следовательно, мы можем записать первое уравнение:

$\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = 180^\circ$

Далее, из условий задачи известны соотношения между углами:

1. Первый угол в 2 раза больше второго: $\alpha_1 = 2 \cdot \alpha_2$.

2. Третий угол в 3 раза больше первого: $\alpha_3 = 3 \cdot \alpha_1$.

Чтобы решить систему уравнений, выразим все углы через одну переменную. Удобнее всего выбрать в качестве такой переменной второй угол $\alpha_2$. Пусть $\alpha_2 = x$.

Тогда, исходя из условий, выразим остальные углы через $x$:

Первый угол: $\alpha_1 = 2 \cdot \alpha_2 = 2x$.

Третий угол: $\alpha_3 = 3 \cdot \alpha_1 = 3 \cdot (2x) = 6x$.

Теперь подставим все три выражения в наше первое уравнение (сумму углов):

$2x + x + 6x = 180^\circ$

Сложим все члены с $x$ в левой части уравнения:

$9x = 180^\circ$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 9:

$x = \frac{180^\circ}{9}$

$x = 20^\circ$

Мы нашли величину угла $\alpha_2$. Теперь найдем величины двух других углов:

Второй угол: $\alpha_2 = x = 20^\circ$.

Первый угол: $\alpha_1 = 2x = 2 \cdot 20^\circ = 40^\circ$.

Третий угол: $\alpha_3 = 6x = 6 \cdot 20^\circ = 120^\circ$.

Проверим, выполняются ли условия задачи:

Сумма углов: $40^\circ + 20^\circ + 120^\circ = 180^\circ$. Верно.

Первый угол ($40^\circ$) в 2 раза больше второго ($20^\circ$). Верно.

Третий угол ($120^\circ$) в 3 раза больше первого ($40^\circ$). Верно.

Построение:

1. С помощью линейки начертите прямую и отметьте на ней точку O. Эта точка будет общей вершиной для всех трех углов.

2. Один из лучей, образующих прямую, примем за сторону первого угла.

3. С помощью транспортира отложите от этого луча угол $20^\circ$ (второй угол) и проведите второй луч из точки O.

4. От второго луча отложите угол $40^\circ$ (первый угол) в том же направлении и проведите третий луч.

5. Угол, образованный третьим лучом и второй половиной исходной прямой, будет третьим углом, и его величина будет равна $180^\circ - 20^\circ - 40^\circ = 120^\circ$.

Таким образом, будут построены три искомых угла.

Ответ: Величины искомых углов равны $20^\circ$, $40^\circ$ и $120^\circ$.