Номер 48, страница 13, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

48 Математический фокус

Запиши четырёхзначное число, у которого каждая последующая цифра на 1 больше предыдущей. Затем запиши число теми же цифрами, но в обратном порядке. Вычти из большего числа меньшее. Повтори это ещё 3 раза, беря иные числа, и сравни полученные результаты. Что ты замечаешь?

Выполним шаги, описанные в задаче, на нескольких примерах.

Пример 1

Запишем четырёхзначное число, у которого каждая последующая цифра на 1 больше предыдущей. Пусть это будет число 1234.

Теперь запишем число теми же цифрами, но в обратном порядке: 4321.

Вычтем из большего числа меньшее: $4321 - 1234 = 3087$.

Ответ: 3087

Пример 2 (повторение 1)

Возьмём другое число, удовлетворяющее условию, например, 2345.

Число в обратном порядке: 5432.

Вычтем из большего числа меньшее: $5432 - 2345 = 3087$.

Ответ: 3087

Пример 3 (повторение 2)

Возьмём число 5678.

Число в обратном порядке: 8765.

Вычтем из большего числа меньшее: $8765 - 5678 = 3087$.

Ответ: 3087

Пример 4 (повторение 3)

Возьмём последнее возможное число такого типа: 6789.

Число в обратном порядке: 9876.

Вычтем из большего числа меньшее: $9876 - 6789 = 3087$.

Ответ: 3087

Сравнение результатов и вывод

Сравнив все полученные результаты, можно заметить, что во всех случаях получается одно и то же число: 3087.

Это происходит потому, что разница между такими числами не зависит от выбора первой цифры. Докажем это математически.

Пусть первая цифра числа — $a$. Тогда само число можно представить в виде $N_1 = 1000a + 100(a+1) + 10(a+2) + (a+3)$.

Число, записанное в обратном порядке, будет $N_2 = 1000(a+3) + 100(a+2) + 10(a+1) + a$.

Найдем их разность $N_2 - N_1$:

$(1000(a+3) + 100(a+2) + 10(a+1) + a) - (1000a + 100(a+1) + 10(a+2) + (a+3))$

Сгруппируем слагаемые:

$1000((a+3) - a) + 100((a+2) - (a+1)) + 10((a+1) - (a+2)) + (a - (a+3))$

Вычислим выражения в скобках:

$1000(3) + 100(1) + 10(-1) + (-3) = 3000 + 100 - 10 - 3 = 3087$

Как видно из формулы, переменная $a$ сокращается, поэтому результат всегда будет постоянным.

Ответ: Независимо от выбора исходного числа, удовлетворяющего условию, результат вычитания всегда будет равен 3087.