Номер 465, страница 96, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

465 БЛИЦтурнир

1) Катамаран отплыл от причала со скоростью $a$ м/мин. Через 12 мин от того же причала вслед за катамараном отплыла моторная лодка со скоростью $b$ м/мин ($a < b$). Через сколько минут лодка догонит катамаран?

2) Из деревни в посёлок выехал велосипедист со скоростью $c$ м/мин. Через 20 мин из той же деревни в том же направлении вышел пешеход со скоростью $d$ м/мин ($d < c$). Какое расстояние будет между ними через 5 мин после выхода пешехода?

3) Две машины едут по шоссе в противоположных направлениях. Сейчас расстояние между ними $k$ км. Какое расстояние будет между ними через 2 ч, если скорость первой машины равна $m$ км/ч, что составляет $\frac{9}{10}$ скорости второй машины?

4) Расстояние между двумя городами по железной дороге $d$ км. Из первого города во второй выехал товарный поезд со скоростью $x$ км/ч. Через 3 ч навстречу ему выехал пассажирский поезд со скоростью $y$ км/ч. Через сколько времени они встретятся?

1)

Когда моторная лодка отплыла, катамаран уже находился в пути 12 минут. За это время он успел отплыть от причала на расстояние, равное произведению его скорости на время: $12 \times a$ метров. Это расстояние является начальной дистанцией между лодкой и катамараном. Лодка догоняет катамаран, поэтому их относительная скорость (скорость сближения) равна разности их скоростей: $b - a$ м/мин. Чтобы найти время, через которое лодка догонит катамаран, нужно разделить начальное расстояние на скорость сближения.
Время $t = \frac{12a}{b - a}$ минут.
Ответ: через $\frac{12a}{b - a}$ минут.

2)

Задача состоит в том, чтобы найти расстояние между велосипедистом и пешеходом через 5 минут после выхода пешехода.

К моменту, когда мы начинаем отсчет времени (5 минут), пешеход будет в пути 5 минут, а велосипедист — $20 + 5 = 25$ минут.

За 5 минут пешеход пройдет расстояние $S_1 = 5 \times d$ метров.

За 25 минут велосипедист проедет расстояние $S_2 = 25 \times c$ метров.

Поскольку они движутся в одном направлении из одной и той же точки, расстояние между ними будет равно разности пройденных ими путей. Так как скорость велосипедиста больше ($c > d$), он проедет большее расстояние.

Искомое расстояние $S = S_2 - S_1 = 25c - 5d$ метров.
Ответ: $(25c - 5d)$ м.

3)

Изначально расстояние между машинами было $k$ км. Они едут в противоположных направлениях, поэтому расстояние между ними будет увеличиваться. Итоговое расстояние через 2 часа будет равно начальному расстоянию плюс суммарное расстояние, которое они проедут за это время.

Скорость первой машины $v_1 = m$ км/ч. По условию, это составляет $\frac{9}{10}$ скорости второй машины ($v_2$).

Значит, $m = \frac{9}{10} v_2$, откуда можно выразить скорость второй машины: $v_2 = m \div \frac{9}{10} = \frac{10m}{9}$ км/ч.

Скорость удаления машин (сумма их скоростей) равна $v_{уд} = v_1 + v_2 = m + \frac{10m}{9} = \frac{9m}{9} + \frac{10m}{9} = \frac{19m}{9}$ км/ч.

За 2 часа они отдалятся друг от друга на расстояние $S_{доп} = v_{уд} \times 2 = \frac{19m}{9} \times 2 = \frac{38m}{9}$ км.

Новое расстояние между машинами будет $S = k + S_{доп} = k + \frac{38m}{9}$ км.
Ответ: $(k + \frac{38m}{9})$ км.

4)

Пусть $t$ — это время в часах с момента выезда пассажирского поезда до момента их встречи.

К моменту выезда пассажирского поезда, товарный поезд уже был в пути 3 часа. За это время он проехал расстояние $S_1 = 3 \times x$ км.

Изначальное расстояние между городами было $d$ км. После того как товарный поезд проехал часть пути, расстояние между поездами сократилось и стало равно $d - 3x$ км.

Теперь оба поезда движутся навстречу друг другу. Их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = x + y$ км/ч.

Время до встречи можно найти, разделив оставшееся расстояние на скорость сближения.

$t = \frac{d - 3x}{x + y}$ часов.

Это время отсчитывается с момента выезда пассажирского поезда.
Ответ: через $\frac{d - 3x}{x + y}$ ч.