Номер 468, страница 97, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

468 На тренировке в 50-метровом бассейне два пловца стартовали одновременно на дистанцию 200 м. Один плыл кролем, другой — брассом. На рисунке приведены графики их движения.

$S$ м

$t$ с

1) Сколько времени затратили пловцы на каждые 50 м и на всю дистанцию?

2) Сколько раз и на каком расстоянии от стартовой стенки бассейна встречались пловцы?

3) С какой скоростью плыл каждый из спортсменов?

4) На сколько секунд раньше финишировал первый пловец?

5) На сколько метров обогнал первый пловец второго к моменту финиша?

В условии даны графики движения двух пловцов в 50-метровом бассейне на дистанции 200 м. Ось ординат S — расстояние от стартовой стенки, ось абсцисс t — время.

Поскольку кроль — более быстрый стиль плавания, чем брасс, то черный график (меньшее время на преодоление 50 м) соответствует пловцу, плывущему кролем, а розовый график — пловцу, плывущему брассом.

1) Сколько времени затратили пловцы на каждые 50 м и на всю дистанцию?

Из графика видно, что пловец, плывущий кролем (черный график), проплывает одну 50-метровую дорожку за 40 секунд. Вся дистанция составляет 200 м, что равно четырем дорожкам. Таким образом, общее время для пловца, плывущего кролем, составляет:
$4 \times 40 \text{ с} = 160 \text{ с}$.

Пловец, плывущий брассом (розовый график), проплывает 50-метровую дорожку за 50 секунд. Общее время для него на дистанции 200 м составит:
$4 \times 50 \text{ с} = 200 \text{ с}$.

Ответ: Пловец, плывущий кролем, затратил 40 секунд на каждые 50 м и 160 секунд на всю дистанцию. Пловец, плывущий брассом, затратил 50 секунд на каждые 50 м и 200 секунд на всю дистанцию.

2) Сколько раз и на каком расстоянии от стартовой стенки бассейна встречались пловцы?

Встречи пловцов на графике соответствуют точкам пересечения их графиков движения (кроме точки старта). Из графика видно, что пловцы встретились 3 раза. Найдем точные расстояния от стартовой стенки для каждой встречи, решив уравнения движения для соответствующих участков. Скорости пловцов: $v_{\text{кроль}} = 1.25$ м/с и $v_{\text{брасс}} = 1$ м/с (см. пункт 3).

Первая встреча: Происходит, когда пловец-кролист плывет обратно (от 40 с до 80 с), а пловец-брассист — еще к дальнему бортику (от 0 с до 50 с).
$S_{\text{кроль}}(t) = 50 - 1.25 \cdot (t - 40)$, $S_{\text{брасс}}(t) = 1 \cdot t$.
$50 - 1.25t + 50 = t \implies 100 = 2.25t \implies t = \frac{100}{2.25} = \frac{400}{9}$ c.
Расстояние от старта: $S = 1 \cdot \frac{400}{9} = \frac{400}{9}$ м $\approx 44.4$ м.

Вторая встреча: Происходит, когда пловец-кролист начинает третий "полтинник" (от 80 с до 120 с), а пловец-брассист заканчивает второй (от 50 с до 100 с).
$S_{\text{кроль}}(t) = 1.25 \cdot (t - 80)$, $S_{\text{брасс}}(t) = 50 - 1 \cdot (t - 50) = 100 - t$.
$1.25t - 100 = 100 - t \implies 2.25t = 200 \implies t = \frac{200}{2.25} = \frac{800}{9}$ c.
Расстояние от старта: $S = 100 - \frac{800}{9} = \frac{100}{9}$ м $\approx 11.1$ м.

Третья встреча: Происходит, когда пловец-кролист плывет последнюю дорожку (от 120 с до 160 с), а пловец-брассист — третью (от 100 с до 150 с).
$S_{\text{кроль}}(t) = 50 - 1.25 \cdot (t - 120)$, $S_{\text{брасс}}(t) = 1 \cdot (t - 100)$.
$50 - 1.25t + 150 = t - 100 \implies 300 = 2.25t \implies t = \frac{300}{2.25} = \frac{1200}{9} = \frac{400}{3}$ c.
Расстояние от старта: $S = \frac{400}{3} - 100 = \frac{100}{3}$ м $\approx 33.3$ м.

Ответ: Пловцы встречались 3 раза на расстояниях $\frac{400}{9}$ м (≈44,4 м), $\frac{100}{9}$ м (≈11,1 м) и $\frac{100}{3}$ м (≈33,3 м) от стартовой стенки.

3) С какой скоростью плыл каждый из спортсменов?

Скорость можно найти по формуле $v = \frac{S}{t}$, где $S$ - расстояние, $t$ - время.
Пловец, плывущий кролем (черный график), проплывает 50 м за 40 с. Его скорость:
$v_{\text{кроль}} = \frac{50 \text{ м}}{40 \text{ с}} = 1.25$ м/с.

Пловец, плывущий брассом (розовый график), проплывает 50 м за 50 с. Его скорость:
$v_{\text{брасс}} = \frac{50 \text{ м}}{50 \text{ с}} = 1$ м/с.

Ответ: Пловец, плывущий кролем, плыл со скоростью 1,25 м/с. Пловец, плывущий брассом, плыл со скоростью 1 м/с.

4) На сколько секунд раньше финишировал первый пловец?

Первым финишировал пловец, затративший на дистанцию меньше времени. Это пловец, плывший кролем.
Время финиша первого пловца (кроль): $t_1 = 160$ с.
Время финиша второго пловца (брасс): $t_2 = 200$ с.
Разница во времени: $\Delta t = t_2 - t_1 = 200 \text{ с} - 160 \text{ с} = 40$ с.

Ответ: Первый пловец финишировал на 40 секунд раньше второго.

5) На сколько метров обогнал первый пловец второго к моменту финиша?

Первый пловец (кроль) финишировал в момент времени $t = 160$ с, проплыв 200 м.
Чтобы найти, на сколько он обогнал второго пловца, нужно определить, какую дистанцию проплыл второй пловец (брасс) за это же время.
Скорость второго пловца $v_{\text{брасс}} = 1$ м/с.
Дистанция, которую он проплыл за 160 с: $S_2 = v_{\text{брасс}} \times t = 1 \text{ м/с} \times 160 \text{ с} = 160$ м.
Разница в пройденном расстоянии (обгон) составляет:
$\Delta S = 200 \text{ м} - 160 \text{ м} = 40$ м.

Ответ: К моменту финиша первый пловец обогнал второго на 40 метров.