Номер 461, страница 96, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

461 Найди 5 последовательных натуральных чисел таких, что сумма двух больших из этих чисел равна сумме трёх остальных.

Можно ли решить эту задачу методом перебора? Почему?

Найди 5 последовательных натуральных чисел таких, что сумма двух больших из этих чисел равна сумме трёх остальных.
Для решения задачи введем переменную. Пусть наименьшее из пяти последовательных натуральных чисел будет $x$. Так как числа последовательные, то вся пятерка чисел может быть записана в виде: $x, x+1, x+2, x+3, x+4$.
Согласно условию, нам нужно сравнить сумму двух больших чисел с суммой трех остальных.
Два самых больших числа в этой последовательности — это $x+3$ и $x+4$. Найдем их сумму:
$(x+3) + (x+4) = 2x + 7$
Остальные три числа — это $x, x+1$ и $x+2$. Их сумма равна:
$x + (x+1) + (x+2) = 3x + 3$
По условию задачи, эти две суммы равны. Мы можем составить уравнение и решить его:
$2x + 7 = 3x + 3$
Чтобы найти $x$, перенесем все слагаемые с $x$ в правую часть уравнения, а свободные числа — в левую:
$7 - 3 = 3x - 2x$
$4 = x$
Мы нашли, что наименьшее число в последовательности равно 4. Теперь найдем остальные четыре числа:
Второе число: $4+1=5$
Третье число: $4+2=6$
Четвертое число: $4+3=7$
Пятое число: $4+4=8$
Таким образом, искомые числа — это 4, 5, 6, 7, 8.
Выполним проверку:
Сумма двух больших чисел: $7 + 8 = 15$.
Сумма трех остальных чисел: $4 + 5 + 6 = 15$.
$15 = 15$. Равенство выполняется, значит, задача решена верно.
Ответ: 4, 5, 6, 7, 8.

Можно ли решить эту задачу методом перебора? Почему?
Да, эту задачу можно решить методом перебора (или подбора). Этот метод будет эффективным, так как поиск решения не будет случайным, а будет представлять собой систематическую проверку, которая быстро приведет к результату.
Рассмотрим, почему это так:
1. Начнем проверку с самой первой возможной последовательности из 5 натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5.
- Сумма двух больших: $4 + 5 = 9$.
- Сумма трех остальных: $1 + 2 + 3 = 6$.
- Сравниваем суммы: $9 > 6$. Сумма больших чисел больше на 3.
2. Теперь возьмем следующую по порядку последовательность: 2, 3, 4, 5, 6.
- Сумма двух больших: $5 + 6 = 11$.
- Сумма трех остальных: $2 + 3 + 4 = 9$.
- Сравниваем суммы: $11 > 9$. Сумма больших чисел теперь больше на 2.
Мы видим закономерность: при переходе к следующей последовательности (увеличивая каждое число на 1), разница между суммой двух больших и суммой трех остальных чисел уменьшается на 1. Это позволяет нам предсказать, что через несколько шагов мы достигнем момента, когда разница станет равной нулю.
3. Для последовательности 3, 4, 5, 6, 7 разница будет $13 - 12 = 1$.
4. Для последовательности 4, 5, 6, 7, 8 разница будет $15 - 15 = 0$.
Мы нашли искомую последовательность.
Таким образом, метод перебора здесь является не просто угадыванием, а целенаправленным поиском, основанным на наблюдаемой закономерности. Так как существует только одно решение, и мы движемся к нему с каждым шагом, метод гарантированно приводит к правильному ответу за небольшое количество итераций.
Ответ: Да, можно, потому что при последовательном переборе вариантов, начиная с наименьших чисел, разница между суммой двух больших и суммой трех меньших чисел планомерно и предсказуемо уменьшается, что гарантирует нахождение единственного решения за несколько шагов.