Номер 463, страница 96, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

463 1) Используя общее правило сравнения дробей и правило «весов», найди множество натуральных чисел а, для которых дробь $\frac{a - 2}{3}$:

а) больше $\frac{5}{2}$;

б) меньше $\frac{5}{2}$;

в) равна $\frac{5}{2}$.

2) Найди множество натуральных чисел а, для которых дробь $\frac{2a + 3}{15}$:

а) больше $\frac{5}{2}$;

б) меньше $\frac{5}{2}$;

в) равна $\frac{5}{2}$.

3) Найди множество натуральных чисел а, для которых дробь $\frac{2a + 3}{a}$:

а) больше $\frac{5}{2}$;

б) меньше $\frac{5}{2}$;

в) равна $\frac{5}{2}$.

1)

а) Найдем множество натуральных чисел $a$, для которых дробь $\frac{a-2}{3}$ больше $\frac{5}{2}$.

Составим и решим неравенство:

$\frac{a-2}{3} > \frac{5}{2}$

Чтобы сравнить дроби, приведем их к общему знаменателю 6 или используем правило перекрестного умножения, так как знаменатели положительны:

$2 \cdot (a-2) > 5 \cdot 3$

$2a - 4 > 15$

Прибавим 4 к обеим частям неравенства:

$2a > 19$

Разделим обе части на 2:

$a > \frac{19}{2}$

$a > 9.5$

Поскольку $a$ должно быть натуральным числом, то оно может принимать значения $10, 11, 12$ и так далее.

Ответ: $\{10, 11, 12, ...\}$.

б) Найдем множество натуральных чисел $a$, для которых дробь $\frac{a-2}{3}$ меньше $\frac{5}{2}$.

Составим и решим неравенство:

$\frac{a-2}{3} < \frac{5}{2}$

Используем перекрестное умножение:

$2 \cdot (a-2) < 5 \cdot 3$

$2a - 4 < 15$

$2a < 19$

$a < \frac{19}{2}$

$a < 9.5$

Так как $a$ — натуральное число, оно должно быть больше 0 и меньше 9.5. Таким образом, $a$ может принимать значения от 1 до 9.

Ответ: $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

в) Найдем множество натуральных чисел $a$, для которых дробь $\frac{a-2}{3}$ равна $\frac{5}{2}$.

Составим и решим уравнение:

$\frac{a-2}{3} = \frac{5}{2}$

Используем основное свойство пропорции:

$2 \cdot (a-2) = 5 \cdot 3$

$2a - 4 = 15$

$2a = 19$

$a = \frac{19}{2} = 9.5$

Поскольку 9.5 не является натуральным числом, не существует такого натурального $a$, при котором равенство было бы верным.

Ответ: $\emptyset$ (пустое множество).

2)

а) Найдем множество натуральных чисел $a$, для которых дробь $\frac{2a+3}{15}$ больше $\frac{5}{2}$.

Составим и решим неравенство:

$\frac{2a+3}{15} > \frac{5}{2}$

Применим перекрестное умножение:

$2 \cdot (2a+3) > 5 \cdot 15$

$4a + 6 > 75$

$4a > 69$

$a > \frac{69}{4}$

$a > 17.25$

Так как $a$ — натуральное число, наименьшим подходящим значением является 18.

Ответ: $\{18, 19, 20, ...\}$.

б) Найдем множество натуральных чисел $a$, для которых дробь $\frac{2a+3}{15}$ меньше $\frac{5}{2}$.

Составим и решим неравенство:

$\frac{2a+3}{15} < \frac{5}{2}$

$2 \cdot (2a+3) < 5 \cdot 15$

$4a + 6 < 75$

$4a < 69$

$a < \frac{69}{4}$

$a < 17.25$

Так как $a$ — натуральное число, оно может принимать значения от 1 до 17 включительно.

Ответ: $\{1, 2, 3, ..., 17\}$.

в) Найдем множество натуральных чисел $a$, для которых дробь $\frac{2a+3}{15}$ равна $\frac{5}{2}$.

Составим и решим уравнение:

$\frac{2a+3}{15} = \frac{5}{2}$

$2 \cdot (2a+3) = 5 \cdot 15$

$4a + 6 = 75$

$4a = 69$

$a = \frac{69}{4} = 17.25$

Число 17.25 не является натуральным. Решений в натуральных числах нет.

Ответ: $\emptyset$ (пустое множество).

3)

а) Найдем множество натуральных чисел $a$, для которых дробь $\frac{2a+3}{a}$ больше $\frac{5}{2}$.

Составим неравенство: $\frac{2a+3}{a} > \frac{5}{2}$.

Поскольку $a$ — натуральное число, $a > 0$. Мы можем умножить обе части неравенства на $2a$, не меняя знака неравенства.

$2 \cdot (2a+3) > 5 \cdot a$

$4a + 6 > 5a$

Вычтем $4a$ из обеих частей:

$6 > a$, или $a < 6$.

Так как $a$ — натуральное число, оно может принимать значения 1, 2, 3, 4, 5.

Ответ: $\{1, 2, 3, 4, 5\}$.

б) Найдем множество натуральных чисел $a$, для которых дробь $\frac{2a+3}{a}$ меньше $\frac{5}{2}$.

Составим неравенство: $\frac{2a+3}{a} < \frac{5}{2}$.

Так как $a > 0$, умножим обе части на $2a$:

$2 \cdot (2a+3) < 5 \cdot a$

$4a + 6 < 5a$

$6 < a$, или $a > 6$.

Так как $a$ — натуральное число, оно может принимать значения 7, 8, 9 и так далее.

Ответ: $\{7, 8, 9, ...\}$.

в) Найдем множество натуральных чисел $a$, для которых дробь $\frac{2a+3}{a}$ равна $\frac{5}{2}$.

Составим уравнение: $\frac{2a+3}{a} = \frac{5}{2}$.

Используем перекрестное умножение:

$2 \cdot (2a+3) = 5 \cdot a$

$4a + 6 = 5a$

Вычтем $4a$ из обеих частей:

$6 = a$.

Число 6 является натуральным.

Ответ: $\{6\}$.