Номер 469, страница 97, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

469 Между пунктами А и В, удалёнными друг от друга на расстояние 150 км, уста-

новлено автобусное сообщение. По расписанию автобусы выходят из обоих пунктов в $7^{00}$, $10^{30}$, $14^{00}$, $17^{30}$. Весь путь каждый автобус проходит с постоянной скоростью за 3 ч. Построй график движения автобусов и ответь на вопросы.

1) Какое наименьшее число автобусов могут обслужить эту линию?

2) Сколько раз, в какое время и на каком расстоянии от пунктов А и В автобусы встречаются?

Для решения задачи сначала определим основные параметры движения автобусов.

Расстояние между пунктами A и B: $S = 150$ км.

Время в пути для каждого автобуса: $t_{пути} = 3$ часа.

Следовательно, постоянная скорость каждого автобуса составляет:

$v = S / t_{пути} = 150 \text{ км} / 3 \text{ ч} = 50 \text{ км/ч}$.

График движения строится в системе координат, где ось абсцисс — время ($t$), а ось ординат — расстояние от пункта A ($S$). Пункт A находится в $S=0$, пункт B — в $S=150$ км. Движение из A в B изображается отрезками прямых с положительным наклоном, а из B в A — с отрицательным.

Уравнение движения для автобуса, выезжающего из пункта A в момент времени $t_0$: $S_A(t) = 50 \cdot (t - t_0)$.

Уравнение движения для автобуса, выезжающего из пункта B в момент времени $t_0$: $S_B(t) = 150 - 50 \cdot (t - t_0)$.

1) Какое наименьшее число автобусов могут обслужить эту линию?

Чтобы определить минимальное количество автобусов, проанализируем их расписание и время оборота.

Рассмотрим первый рейс в 7:00. В этот момент времени один автобус должен отправиться из пункта A, а другой — из пункта B. Это означает, что для обслуживания линии необходимо как минимум два автобуса.

Проверим, достаточно ли двух автобусов. Назовем их Автобус 1 и Автобус 2.

• В 7:00 Автобус 1 выезжает из A, а Автобус 2 — из B.
• В 10:00 Автобус 1 прибывает в B, а Автобус 2 — в A.
• Следующий рейс по расписанию в 10:30. У каждого автобуса есть 30 минут на стоянку.
• В 10:30 Автобус 1 (находящийся в B) может отправиться в A, а Автобус 2 (находящийся в A) — в B.
• В 13:30 Автобус 1 прибывает в A, а Автобус 2 — в B.
• Следующий рейс в 14:00. Снова у каждого автобуса есть 30 минут на стоянку.
• В 14:00 Автобус 1 выезжает из A, а Автобус 2 — из B.

Эта схема работает для всех рейсов в расписании, так как интервал между отправлениями (3.5 часа) больше, чем время в пути (3 часа), что позволяет иметь 30-минутную стоянку на конечной станции. Таким образом, двух автобусов достаточно для обслуживания всей линии.

Ответ: Наименьшее число автобусов, которые могут обслужить эту линию, — 2.

2) Сколько раз, в какое время и на каком расстоянии от пунктов А и В автобусы встречаются?

Встреча автобусов, движущихся навстречу друг другу, происходит в точке, где их координаты по оси расстояний совпадают в один и тот же момент времени. Найдем время встречи $t_{встр}$, приравняв уравнения движения автобуса из A (выезд в $t_A$) и автобуса из B (выезд в $t_B$):

$S_A(t) = S_B(t)$

$50 \cdot (t_{встр} - t_A) = 150 - 50 \cdot (t_{встр} - t_B)$

$50t_{встр} - 50t_A = 150 - 50t_{встр} + 50t_B$

$100t_{встр} = 150 + 50t_A + 50t_B$

$t_{встр} = 1.5 + 0.5 \cdot (t_A + t_B)$

Встреча на маршруте возможна только в том случае, если оба автобуса находятся в пути одновременно. Поскольку время в пути (3 часа) меньше интервала между рейсами (3.5 часа), каждый автобус встретит в пути только один автобус, движущийся навстречу — тот, который отправился из противоположного пункта в то же самое время.

Рассмотрим случай одновременного отправления, когда $t_A = t_B = t_0$.

Время встречи: $t_{встр} = t_0 + 1.5$ часа. Это означает, что встреча происходит через 1.5 часа после выезда.

Расстояние от пункта A в момент встречи: $S_{встр} = 50 \cdot (t_{встр} - t_0) = 50 \cdot (t_0 + 1.5 - t_0) = 50 \cdot 1.5 = 75$ км.

Таким образом, все встречи происходят ровно посередине пути, на расстоянии 75 км от пункта A (и 75 км от пункта B).

Теперь определим точное время каждой встречи для всех одновременных рейсов:

• Рейсы в 7:00: встреча в $7:00 + 1\text{ч } 30\text{м} = 8:30$.
• Рейсы в 10:30: встреча в $10:30 + 1\text{ч } 30\text{м} = 12:00$.
• Рейсы в 14:00: встреча в $14:00 + 1\text{ч } 30\text{м} = 15:30$.
• Рейсы в 17:30: встреча в $17:30 + 1\text{ч } 30\text{м} = 19:00$.

Всего автобусы встречаются 4 раза.

Ответ: Автобусы встречаются 4 раза. Каждая встреча происходит на расстоянии 75 км от пункта А и 75 км от пункта В. Время встреч: 8:30, 12:00, 15:30 и 19:00.