Номер 471, страница 98, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

471 Построй треугольник $\triangle ABC$ по координатам его вершин $A (7; 9)$, $B (4; 0)$, $C (16; 6)$.

1) Какие из точек $M (14; 5)$, $N (5; 14)$, $K (8; 10)$, $T (10; 8)$ принадлежат сторонам треугольника?

2) Определи координаты точки $D$ - середины стороны $BC$ треугольника $\triangle ABC$.

3) Измерь стороны треугольника $\triangle ABC$ и определи, является ли он равносторонним. Является ли он равнобедренным?

4) Построй с помощью циркуля и линейки три равнобедренных треугольника и измерь транспортиром их углы. Сформулируй гипотезу.

1) Какие из точек М (14; 5), N (5; 14), K (8; 10), T (10; 8) принадлежат сторонам треугольника?

Чтобы определить, принадлежит ли точка стороне треугольника, нужно проверить, лежит ли она на прямой, содержащей эту сторону, и находятся ли ее координаты между координатами вершин. Уравнение прямой, проходящей через точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, можно записать в виде $(y - y_1)(x_2 - x_1) = (x - x_1)(y_2 - y_1)$.

Проверка для стороны AB с вершинами A(7; 9) и B(4; 0):
Уравнение прямой AB: $(y - 0)(7 - 4) = (x - 4)(9 - 0) \Rightarrow 3y = 9(x - 4) \Rightarrow y = 3x - 12$.
Проверим точки:

• M(14; 5): $5 \neq 3(14) - 12 = 30$.
• N(5; 14): $14 \neq 3(5) - 12 = 3$.
• K(8; 10): $10 \neq 3(8) - 12 = 12$.
• T(10; 8): $8 \neq 3(10) - 12 = 18$.

Ни одна из точек не лежит на прямой AB.

Проверка для стороны BC с вершинами B(4; 0) и C(16; 6):
Уравнение прямой BC: $(y - 0)(16 - 4) = (x - 4)(6 - 0) \Rightarrow 12y = 6(x - 4) \Rightarrow y = 0.5x - 2$.
Проверим точки:

• M(14; 5): $5 = 0.5(14) - 2 = 7 - 2 = 5$. Точка M лежит на прямой BC. Так как $4 \le 14 \le 16$ и $0 \le 5 \le 6$, точка M принадлежит стороне BC.
• N(5; 14): $14 \neq 0.5(5) - 2 = 0.5$.
• K(8; 10): $10 \neq 0.5(8) - 2 = 2$.
• T(10; 8): $8 \neq 0.5(10) - 2 = 3$.

Проверка для стороны AC с вершинами A(7; 9) и C(16; 6):
Уравнение прямой AC: $(y - 9)(16 - 7) = (x - 7)(6 - 9) \Rightarrow 9(y - 9) = -3(x - 7) \Rightarrow 3(y - 9) = -(x - 7) \Rightarrow 3y - 27 = -x + 7 \Rightarrow x + 3y = 34$.
Проверим точки:

• T(10; 8): $10 + 3(8) = 10 + 24 = 34$. Точка T лежит на прямой AC. Так как $7 \le 10 \le 16$ и $6 \le 8 \le 9$, точка T принадлежит стороне AC.
• K(8; 10): $8 + 3(10) = 38 \neq 34$.
• N(5; 14): $5 + 3(14) = 47 \neq 34$.

Ответ: Сторонам треугольника принадлежат точка M(14; 5) (стороне BC) и точка T(10; 8) (стороне AC).

2) Определи координаты точки D – середины стороны BC треугольника ABC.

Координаты середины отрезка находятся по формулам: $x_D = \frac{x_B + x_C}{2}$ и $y_D = \frac{y_B + y_C}{2}$.
Вершины стороны BC имеют координаты B(4; 0) и C(16; 6).
$x_D = \frac{4 + 16}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$y_D = \frac{0 + 6}{2} = \frac{6}{2} = 3$
Следовательно, координаты точки D: (10; 3).

Ответ: Координаты точки D (10; 3).

3) Измерь стороны треугольника ABC и определи, является ли он равносторонним. Является ли он равнобедренным?

Длину стороны (расстояние между двумя точками) найдем по формуле: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
A(7; 9), B(4; 0), C(16; 6).
Длина стороны AB: $AB = \sqrt{(4 - 7)^2 + (0 - 9)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-9)^2} = \sqrt{9 + 81} = \sqrt{90}$.
Длина стороны BC: $BC = \sqrt{(16 - 4)^2 + (6 - 0)^2} = \sqrt{12^2 + 6^2} = \sqrt{144 + 36} = \sqrt{180}$.
Длина стороны AC: $AC = \sqrt{(16 - 7)^2 + (6 - 9)^2} = \sqrt{9^2 + (-3)^2} = \sqrt{81 + 9} = \sqrt{90}$.
Сравним длины сторон: $AB = AC = \sqrt{90}$, а $BC = \sqrt{180}$.
Так как не все стороны равны ($AB \neq BC$), треугольник не является равносторонним.
Так как две стороны равны ($AB = AC$), треугольник является равнобедренным.

Ответ: Длины сторон: $AB = \sqrt{90}$, $BC = \sqrt{180}$, $AC = \sqrt{90}$. Треугольник не является равносторонним, но является равнобедренным.

4) Построй с помощью циркуля и линейки три равнобедренных треугольника и измерь транспортиром их углы. Сформулируй гипотезу.

Для выполнения этого задания необходимо провести практическую работу:

1. Начертить отрезок, который будет основанием треугольника.
2. С помощью циркуля из обоих концов отрезка провести дуги одинакового радиуса (радиус должен быть больше половины длины основания).
3. Точку пересечения дуг соединить с концами отрезка-основания. Получится равнобедренный треугольник.
4. Повторить построение еще два раза, изменяя длину основания или радиус дуг.
5. С помощью транспортира измерить все углы в каждом из трех построенных треугольников.

После проведения измерений можно заметить закономерность: в каждом из построенных равнобедренных треугольников два угла оказываются равными. Это углы при основании, то есть углы, противолежащие равным сторонам.

Гипотеза: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Ответ: Гипотеза: в равнобедренном треугольнике углы, противолежащие равным сторонам (углы при основании), равны между собой.