Номер 474, страница 98, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

474 Вычисли, используя переход к натуральным числам:

а) $\frac{\frac{2}{7} + \frac{1}{14}}{\frac{9}{14} - \frac{3}{7}}$

б) $\frac{\frac{3}{4} \cdot \frac{7}{13} \cdot \frac{15}{29}}{\frac{1}{4} \cdot \frac{10}{13} \cdot \frac{21}{29}}$

в) $\frac{\frac{8}{9} \cdot \frac{5}{7} \cdot \frac{11}{13}}{\frac{2}{9} \cdot 3\frac{1}{7} \cdot \frac{10}{13}}$

а) Исходное выражение: $ \frac{\frac{2}{7} + \frac{1}{14}}{\frac{9}{14} - \frac{3}{7}} $.

Чтобы выполнить "переход к натуральным числам", нужно избавиться от дробей в числителе и знаменателе основной дроби. Для этого умножим числитель и знаменатель на наименьшее общее кратное знаменателей внутренних дробей (7 и 14). Наименьшее общее кратное (НОК) для 7 и 14 равно 14.

Умножаем числитель и знаменатель на 14:

$ \frac{(\frac{2}{7} + \frac{1}{14}) \cdot 14}{(\frac{9}{14} - \frac{3}{7}) \cdot 14} = \frac{\frac{2}{7} \cdot 14 + \frac{1}{14} \cdot 14}{\frac{9}{14} \cdot 14 - \frac{3}{7} \cdot 14} $

Выполняем вычисления, которые теперь включают только целые числа:

Числитель: $ 2 \cdot 2 + 1 = 4 + 1 = 5 $

Знаменатель: $ 9 - 3 \cdot 2 = 9 - 6 = 3 $

В результате получаем: $ \frac{5}{3} $.

Ответ: $ \frac{5}{3} $

б) Исходное выражение: $ \frac{\frac{3}{4} \cdot \frac{7}{13} \cdot \frac{15}{29}}{\frac{1}{4} \cdot \frac{10}{13} \cdot \frac{21}{29}} $.

Знаменатели внутренних дробей: 4, 13, 29. Чтобы избавиться от дробей, умножим числитель и знаменатель основной дроби на произведение этих знаменателей: $ 4 \cdot 13 \cdot 29 $.

Числитель после умножения:

$ (\frac{3}{4} \cdot \frac{7}{13} \cdot \frac{15}{29}) \cdot (4 \cdot 13 \cdot 29) = (\frac{3}{4} \cdot 4) \cdot (\frac{7}{13} \cdot 13) \cdot (\frac{15}{29} \cdot 29) = 3 \cdot 7 \cdot 15 $

Знаменатель после умножения:

$ (\frac{1}{4} \cdot \frac{10}{13} \cdot \frac{21}{29}) \cdot (4 \cdot 13 \cdot 29) = (\frac{1}{4} \cdot 4) \cdot (\frac{10}{13} \cdot 13) \cdot (\frac{21}{29} \cdot 29) = 1 \cdot 10 \cdot 21 $

Получаем новую дробь из натуральных чисел и сокращаем её:

$ \frac{3 \cdot 7 \cdot 15}{1 \cdot 10 \cdot 21} = \frac{21 \cdot 15}{10 \cdot 21} = \frac{15}{10} = \frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{3}{2} $

Ответ: $ \frac{3}{2} $

в) Исходное выражение: $ \frac{\frac{8}{9} \cdot \frac{5}{7} \cdot \frac{11}{13}}{\frac{2}{9} \cdot 3\frac{1}{7} \cdot \frac{10}{13}} $.

Сначала преобразуем смешанное число $ 3\frac{1}{7} $ в неправильную дробь: $ 3\frac{1}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{22}{7} $.

Теперь выражение выглядит так: $ \frac{\frac{8}{9} \cdot \frac{5}{7} \cdot \frac{11}{13}}{\frac{2}{9} \cdot \frac{22}{7} \cdot \frac{10}{13}} $.

Знаменатели внутренних дробей: 9, 7, 13. Умножим числитель и знаменатель основной дроби на их произведение $ 9 \cdot 7 \cdot 13 $.

Числитель после умножения:

$ (\frac{8}{9} \cdot \frac{5}{7} \cdot \frac{11}{13}) \cdot (9 \cdot 7 \cdot 13) = 8 \cdot 5 \cdot 11 = 440 $

Знаменатель после умножения:

$ (\frac{2}{9} \cdot \frac{22}{7} \cdot \frac{10}{13}) \cdot (9 \cdot 7 \cdot 13) = 2 \cdot 22 \cdot 10 = 440 $

Получаем новую дробь:

$ \frac{440}{440} = 1 $

Ответ: 1