Номер 467, страница 97, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

467 На числовом луче отмечены точки 1 и $a$. Перерисуй чертёж на бумагу без клеток и отметь на луче с помощью циркуля точки:

1) $a + 1$, $2a$, $3a - 1$;

2) $a - 2$, $3a$, $2a + 1$.

$0 \quad 1 \quad a$

Для решения задачи необходимо перерисовать числовой луч с отмеченными точками $0$, $1$ и $a$. Все построения выполняются с помощью циркуля. Основная идея заключается в том, чтобы использовать циркуль для измерения и откладывания двух базовых отрезков: единичного отрезка (длиной $1$, расстояние от $0$ до $1$) и отрезка длиной $a$ (расстояние от $0$ до $a$).

1)

Выполним построение точек $a + 1$, $2a$ и $3a - 1$.

• Построение точки $a + 1$:
  1. С помощью циркуля измеряем длину единичного отрезка, установив иглу на $0$, а грифель на $1$.
  2. Не меняя раствора циркуля, устанавливаем иглу в точку $a$.
  3. Проводим дугу, пересекающую луч справа от точки $a$. Точка пересечения является искомой точкой $a + 1$.
• Построение точки $2a$:
  1. С помощью циркуля измеряем расстояние от $0$ до $a$.
  2. Не меняя раствора циркуля, устанавливаем иглу в точку $a$.
  3. Проводим дугу, пересекающую луч справа от точки $a$. Точка пересечения соответствует значению $a + a = 2a$.
• Построение точки $3a - 1$:
  1. Сначала найдем точку $3a$. Для этого измерим циркулем расстояние от $0$ до $a$. Установим иглу в уже построенную точку $2a$ и отложим это расстояние вправо по лучу. Получим точку $2a + a = 3a$.
  2. Теперь вычтем $1$. Измерим циркулем единичный отрезок (расстояние от $0$ до $1$).
  3. Установим иглу циркуля в точку $3a$ и проведем дугу, пересекающую луч слева от этой точки. Точка пересечения является искомой точкой $3a - 1$.

Ответ: точки $a + 1$, $2a$ и $3a - 1$ отмечены на луче с помощью описанных шагов.

2)

Выполним построение точек $a - 2$, $3a$ и $2a + 1$.

• Построение точки $a - 2$:
  1. Измеряем циркулем единичный отрезок (расстояние от $0$ до $1$).
  2. Устанавливаем иглу циркуля в точку $a$ и проводим дугу, пересекающую луч слева. Получаем точку $a - 1$.
  3. Не меняя раствора циркуля, устанавливаем иглу в точку $a - 1$ и снова проводим дугу, пересекающую луч слева. Получаем точку $(a - 1) - 1 = a - 2$. (Из чертежа видно, что $a > 2$, поэтому точка $a - 2$ лежит на луче, то есть является положительным числом).
• Построение точки $3a$:
  1. Измеряем циркулем расстояние от $0$ до $a$.
  2. Последовательно откладываем этот отрезок три раза вправо, начиная от точки $0$.
  3. Первый шаг (от $0$ до $a$) уже сделан. Устанавливаем иглу в точку $a$ и откладываем отрезок, получая точку $2a$.
  4. Затем устанавливаем иглу в точку $2a$ и откладываем тот же отрезок, получая точку $3a$.
• Построение точки $2a + 1$:
  1. Сначала найдем точку $2a$, как описано выше: измеряем расстояние от $0$ до $a$ и откладываем его от точки $a$ вправо.
  2. Теперь прибавим $1$. Измеряем циркулем единичный отрезок (расстояние от $0$ до $1$).
  3. Устанавливаем иглу циркуля в точку $2a$ и откладываем единичный отрезок вправо. Полученная точка пересечения является искомой точкой $2a + 1$.

Ответ: точки $a - 2$, $3a$ и $2a + 1$ отмечены на луче с помощью описанных шагов.