Номер 473, страница 98, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

473 Найди значение выражения:

а) $\frac{1 \frac{5}{9} : 7 + 1 \frac{5}{6}}{6 \frac{1}{6} \cdot 3}$

б) $\frac{2 \frac{3}{7} \cdot 1 \frac{5}{11} + 2 \frac{3}{7} \cdot 2 \frac{6}{11}}{2 \frac{3}{7} \cdot 1 \frac{5}{11}}$

в) $\frac{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}}}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2}}}$

a)

Данное выражение представляет собой дробь. Решим его по действиям, сначала вычислив значение числителя, затем знаменателя, и в конце разделим первое на второе.

1. Вычислим значение числителя: $1\frac{5}{9} : 7 + 1\frac{5}{6}$.

Сначала выполним деление. Переведем смешанное число $1\frac{5}{9}$ в неправильную дробь: $1\frac{5}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 5}{9} = \frac{14}{9}$.

$1\frac{5}{9} : 7 = \frac{14}{9} : 7 = \frac{14}{9 \cdot 7} = \frac{2}{9}$.

Теперь выполним сложение. Переведем смешанное число $1\frac{5}{6}$ в неправильную дробь: $1\frac{5}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{11}{6}$.

$\frac{2}{9} + \frac{11}{6}$. Найдем общий знаменатель для 9 и 6, это 18.

$\frac{2 \cdot 2}{9 \cdot 2} + \frac{11 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{4}{18} + \frac{33}{18} = \frac{4+33}{18} = \frac{37}{18}$.

Числитель равен $\frac{37}{18}$.

2. Вычислим значение знаменателя: $6\frac{1}{6} \cdot 3$.

Переведем смешанное число $6\frac{1}{6}$ в неправильную дробь: $6\frac{1}{6} = \frac{6 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{37}{6}$.

$6\frac{1}{6} \cdot 3 = \frac{37}{6} \cdot 3 = \frac{37 \cdot 3}{6} = \frac{37}{2}$.

Знаменатель равен $\frac{37}{2}$.

3. Разделим числитель на знаменатель:

$\frac{1\frac{5}{9} : 7 + 1\frac{5}{6}}{6\frac{1}{6} \cdot 3} = \frac{\frac{37}{18}}{\frac{37}{2}} = \frac{37}{18} : \frac{37}{2} = \frac{37}{18} \cdot \frac{2}{37} = \frac{37 \cdot 2}{18 \cdot 37} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$.

Ответ: $\frac{1}{9}$.

б)

Рассмотрим выражение: $\frac{2\frac{3}{7} \cdot 1\frac{5}{11} + 2\frac{3}{7} \cdot 2\frac{6}{11}}{2\frac{3}{7} \cdot 1\frac{5}{11}}$.

В числителе можно вынести за скобки общий множитель $2\frac{3}{7}$, используя распределительное свойство умножения $(a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b+c))$:

$2\frac{3}{7} \cdot 1\frac{5}{11} + 2\frac{3}{7} \cdot 2\frac{6}{11} = 2\frac{3}{7} \cdot (1\frac{5}{11} + 2\frac{6}{11})$.

Вычислим сумму в скобках:

$1\frac{5}{11} + 2\frac{6}{11} = (1+2) + (\frac{5}{11} + \frac{6}{11}) = 3 + \frac{11}{11} = 3 + 1 = 4$.

Теперь исходное выражение можно переписать так:

$\frac{2\frac{3}{7} \cdot 4}{2\frac{3}{7} \cdot 1\frac{5}{11}}$.

Сократим общий множитель $2\frac{3}{7}$ в числителе и знаменателе:

$\frac{4}{1\frac{5}{11}}$.

Теперь вычислим значение этого выражения. Переведем смешанное число $1\frac{5}{11}$ в неправильную дробь: $1\frac{5}{11} = \frac{1 \cdot 11 + 5}{11} = \frac{16}{11}$.

$4 : \frac{16}{11} = 4 \cdot \frac{11}{16} = \frac{4 \cdot 11}{16} = \frac{11}{4}$.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{11}{4} = 2\frac{3}{4}$.

Ответ: $2\frac{3}{4}$.

в)

Данное выражение является многоэтажной дробью. Будем вычислять его по частям, начиная с самых нижних уровней.

1. Сначала упростим числитель: $1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}}$.

Начнем с самого внутреннего выражения: $1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

Подставим это значение обратно: $1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\frac{3}{2}}}$.

$\frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}$.

Получаем: $1 + \frac{1}{1 + \frac{2}{3}}$.

Теперь вычислим знаменатель $1 + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.

Получаем: $1 + \frac{1}{\frac{5}{3}}$.

$\frac{1}{\frac{5}{3}} = \frac{3}{5}$.

Окончательно, значение числителя: $1 + \frac{3}{5} = \frac{5}{5} + \frac{3}{5} = \frac{8}{5}$.

2. Теперь упростим знаменатель: $2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2}}$.

Начнем с выражения в знаменателе дроби: $2 + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.

Подставим это значение: $2 + \frac{1}{\frac{5}{2}}$.

$\frac{1}{\frac{5}{2}} = \frac{2}{5}$.

Окончательно, значение знаменателя: $2 + \frac{2}{5} = \frac{10}{5} + \frac{2}{5} = \frac{12}{5}$.

3. Разделим значение числителя на значение знаменателя:

$\frac{\frac{8}{5}}{\frac{12}{5}} = \frac{8}{5} : \frac{12}{5} = \frac{8}{5} \cdot \frac{5}{12} = \frac{8 \cdot 5}{5 \cdot 12} = \frac{8}{12}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4: $\frac{8:4}{12:4} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.