Номер 475, страница 98, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

475 Реши уравнение и сделай проверку:

1) $1 \frac{1}{2} - \left(\frac{5}{6} x + \frac{1}{3}\right) = \frac{8}{9}$;

2) $\frac{5}{8} y - \frac{1}{2} y + \frac{1}{12} y = \frac{1}{4}$;

3) $\frac{4}{15} z + \frac{5}{6} z + \frac{1}{2} = 1 \frac{3}{5}$.

1) $1\frac{1}{2} - (\frac{5}{6}x + \frac{1}{3}) = \frac{8}{9}$

Сначала найдем неизвестное вычитаемое $(\frac{5}{6}x + \frac{1}{3})$. Для этого из уменьшаемого $1\frac{1}{2}$ вычтем разность $\frac{8}{9}$.

$\frac{5}{6}x + \frac{1}{3} = 1\frac{1}{2} - \frac{8}{9}$

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

$\frac{5}{6}x + \frac{1}{3} = \frac{3}{2} - \frac{8}{9}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 18:

$\frac{5}{6}x + \frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 9}{18} - \frac{8 \cdot 2}{18}$

$\frac{5}{6}x + \frac{1}{3} = \frac{27 - 16}{18}$

$\frac{5}{6}x + \frac{1}{3} = \frac{11}{18}$

Теперь найдем неизвестное слагаемое $\frac{5}{6}x$. Для этого из суммы $\frac{11}{18}$ вычтем известное слагаемое $\frac{1}{3}$.

$\frac{5}{6}x = \frac{11}{18} - \frac{1}{3}$

Приведем дроби к общему знаменателю 18:

$\frac{5}{6}x = \frac{11}{18} - \frac{1 \cdot 6}{18}$

$\frac{5}{6}x = \frac{11 - 6}{18}$

$\frac{5}{6}x = \frac{5}{18}$

Найдем неизвестный множитель $x$. Для этого произведение $\frac{5}{18}$ разделим на известный множитель $\frac{5}{6}$.

$x = \frac{5}{18} : \frac{5}{6} = \frac{5}{18} \cdot \frac{6}{5}$

$x = \frac{5 \cdot 6}{18 \cdot 5} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$

Проверка:

Подставим $x = \frac{1}{3}$ в исходное уравнение:

$1\frac{1}{2} - (\frac{5}{6} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3}) = \frac{8}{9}$

$1\frac{1}{2} - (\frac{5}{18} + \frac{1 \cdot 6}{18}) = \frac{8}{9}$

$1\frac{1}{2} - (\frac{5+6}{18}) = \frac{8}{9}$

$\frac{3}{2} - \frac{11}{18} = \frac{8}{9}$

$\frac{3 \cdot 9}{18} - \frac{11}{18} = \frac{8}{9}$

$\frac{27 - 11}{18} = \frac{8}{9}$

$\frac{16}{18} = \frac{8}{9}$

$\frac{8}{9} = \frac{8}{9}$

Равенство верное.

Ответ: $x = \frac{1}{3}$.

2) $\frac{5}{8}y - \frac{1}{2}y + \frac{1}{12}y = \frac{1}{4}$

Вынесем общий множитель $y$ за скобки в левой части уравнения:

$(\frac{5}{8} - \frac{1}{2} + \frac{1}{12})y = \frac{1}{4}$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 24 (НОК(8, 2, 12) = 24):

$(\frac{5 \cdot 3}{24} - \frac{1 \cdot 12}{24} + \frac{1 \cdot 2}{24})y = \frac{1}{4}$

$(\frac{15 - 12 + 2}{24})y = \frac{1}{4}$

$\frac{5}{24}y = \frac{1}{4}$

Найдем неизвестный множитель $y$:

$y = \frac{1}{4} : \frac{5}{24} = \frac{1}{4} \cdot \frac{24}{5}$

$y = \frac{24}{4 \cdot 5} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}$

Проверка:

Подставим $y = \frac{6}{5}$ в исходное уравнение:

$\frac{5}{8} \cdot \frac{6}{5} - \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{5} + \frac{1}{12} \cdot \frac{6}{5} = \frac{1}{4}$

$\frac{30}{40} - \frac{6}{10} + \frac{6}{60} = \frac{1}{4}$

Сократим дроби:

$\frac{3}{4} - \frac{3}{5} + \frac{1}{10} = \frac{1}{4}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю 20:

$\frac{3 \cdot 5}{20} - \frac{3 \cdot 4}{20} + \frac{1 \cdot 2}{20} = \frac{1}{4}$

$\frac{15 - 12 + 2}{20} = \frac{1}{4}$

$\frac{5}{20} = \frac{1}{4}$

$\frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

Равенство верное.

Ответ: $y = 1\frac{1}{5}$.

3) $\frac{4}{15}z + \frac{5}{6}z + \frac{1}{2} = 1\frac{3}{5}$

Сгруппируем слагаемые с переменной $z$ в левой части, а числовые слагаемые - в правой. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь $1\frac{3}{5} = \frac{8}{5}$.

$\frac{4}{15}z + \frac{5}{6}z = \frac{8}{5} - \frac{1}{2}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 10:

$\frac{4}{15}z + \frac{5}{6}z = \frac{8 \cdot 2}{10} - \frac{1 \cdot 5}{10} = \frac{16 - 5}{10} = \frac{11}{10}$

Теперь вынесем $z$ за скобки в левой части:

$(\frac{4}{15} + \frac{5}{6})z = \frac{11}{10}$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 30 (НОК(15, 6) = 30):

$(\frac{4 \cdot 2}{30} + \frac{5 \cdot 5}{30})z = \frac{11}{10}$

$(\frac{8 + 25}{30})z = \frac{11}{10}$

$\frac{33}{30}z = \frac{11}{10}$

Найдем $z$:

$z = \frac{11}{10} : \frac{33}{30} = \frac{11}{10} \cdot \frac{30}{33}$

$z = \frac{11 \cdot 30}{10 \cdot 33} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 3} = 1$

Проверка:

Подставим $z = 1$ в исходное уравнение:

$\frac{4}{15} \cdot 1 + \frac{5}{6} \cdot 1 + \frac{1}{2} = 1\frac{3}{5}$

$\frac{4}{15} + \frac{5}{6} + \frac{1}{2} = \frac{8}{5}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю 30:

$\frac{4 \cdot 2}{30} + \frac{5 \cdot 5}{30} + \frac{1 \cdot 15}{30} = \frac{8}{5}$

$\frac{8 + 25 + 15}{30} = \frac{8}{5}$

$\frac{48}{30} = \frac{8}{5}$

Сократим дробь $\frac{48}{30}$ на 6:

$\frac{8}{5} = \frac{8}{5}$

Равенство верное.

Ответ: $z=1$.