Номер 478, страница 99, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

478 Построй математическую модель задачи.

На соревнованиях по велоспорту один велосипедист стартовал на 15 мин раньше другого. Скорость первого велосипедиста $a$ м/мин, а скорость второго – $b$ м/мин. Какое расстояние будет между ними через 30 мин после старта второго велосипедиста, если:

1) $a > b$;

2) $a < b$?

(Считать, что велосипедисты стартуют из одной точки и за указанное время второй велосипедист не успел догнать первого.)

Для построения математической модели задачи определим время движения каждого велосипедиста и пройденное ими расстояние к моменту времени, указанному в условии.
Пусть $v_1 = a$ м/мин – скорость первого велосипедиста, а $v_2 = b$ м/мин – скорость второго.

Мы ищем расстояние между ними через 30 минут после старта второго велосипедиста.
Следовательно, время в пути для второго велосипедиста $t_2 = 30$ мин.
Первый велосипедист стартовал на 15 минут раньше, поэтому его общее время в пути к этому моменту составит $t_1 = 15 + 30 = 45$ мин.

Теперь найдем расстояние, которое проехал каждый велосипедист от точки старта. Расстояние равно произведению скорости на время ($S = v \cdot t$).
Расстояние, пройденное первым велосипедистом: $S_1 = v_1 \cdot t_1 = a \cdot 45 = 45a$ (м).
Расстояние, пройденное вторым велосипедистом: $S_2 = v_2 \cdot t_2 = b \cdot 30 = 30b$ (м).

Велосипедисты движутся в одном направлении из одной точки. По условию, второй велосипедист не успел догнать первого, значит, первый велосипедист находится впереди. Расстояние между ними ($S$) будет равно разности расстояний, пройденных первым и вторым велосипедистами.
$S = S_1 - S_2 = 45a - 30b$.
Это выражение является общей математической моделью для данной задачи. Рассмотрим его для двух указанных случаев.

1) a > b;
Если скорость первого велосипедиста больше, он удаляется от второго. Так как он и стартовал раньше, и едет быстрее, расстояние между ними постоянно увеличивается. Используем выведенную формулу:
$S = 45a - 30b$.
Вынесем общий множитель 15 за скобки для упрощения выражения:
$S = 15(3a - 2b)$ (м).
Ответ: $15(3a - 2b)$ м.

2) a < b ?
Если скорость второго велосипедиста больше, он догоняет первого. Однако в условии сказано, что за 30 минут он его не догнал. Это значит, что расстояние, пройденное первым велосипедистом ($S_1$), все еще больше расстояния, пройденного вторым ($S_2$). Поэтому для нахождения расстояния между ними мы по-прежнему должны из большего расстояния вычесть меньшее.
$S = S_1 - S_2 = 45a - 30b$.
Таким образом, математическая модель оказывается такой же, как и в первом случае.
$S = 15(3a - 2b)$ (м).
Ответ: $15(3a - 2b)$ м.