Номер 480, страница 99, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

480 Построй треугольник $ABC$ по координатам вершин $A (0; 4)$, $B (8; 0)$ и $C (16; 8)$ и измерь его углы с помощью транспортира. Отметь середины $M, N$ и $K$ сторон треугольника $ABC$, соедини их отрезками и измерь углы полученного треугольника $MNK$. Повтори эксперимент ещё два раза для произвольных треугольников. Сформулируй гипотезу. Можно ли считать твою гипотезу верной на основании выполненных построений и измерений?

Поскольку точное измерение с помощью транспортира на экране невозможно, мы проведем точные вычисления углов с использованием аналитической геометрии. Результаты вычислений соответствуют тем, которые были бы получены при идеальном построении и измерении.

Построение и измерение углов треугольника ABC

Задан треугольник с вершинами в точках $A(0; 4)$, $B(8; 0)$ и $C(16; 8)$.

Для нахождения углов сначала вычислим длины его сторон по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Длина стороны $AB = \sqrt{(8 - 0)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{8^2 + (-4)^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$.

Длина стороны $BC = \sqrt{(16 - 8)^2 + (8 - 0)^2} = \sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{64 + 64} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}$.

Длина стороны $AC = \sqrt{(16 - 0)^2 + (8 - 4)^2} = \sqrt{16^2 + 4^2} = \sqrt{256 + 16} = \sqrt{272} = 4\sqrt{17}$.

Теперь найдем углы, используя теорему косинусов. Например, для угла $A$: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2(AB)(AC)\cos(\angle A)$.

$\cos(\angle A) = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{80 + 272 - 128}{2 \cdot \sqrt{80} \cdot \sqrt{272}} = \frac{224}{2 \cdot \sqrt{21760}} = \frac{112}{\sqrt{21760}} \approx 0.759$. Отсюда $\angle A \approx 40.6^\circ$.

$\cos(\angle B) = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{80 + 128 - 272}{2 \cdot \sqrt{80} \cdot \sqrt{128}} = \frac{-64}{2 \cdot \sqrt{10240}} = \frac{-32}{\sqrt{10240}} \approx -0.316$. Отсюда $\angle B \approx 108.4^\circ$.

$\cos(\angle C) = \frac{BC^2 + AC^2 - AB^2}{2 \cdot BC \cdot AC} = \frac{128 + 272 - 80}{2 \cdot \sqrt{128} \cdot \sqrt{272}} = \frac{320}{2 \cdot \sqrt{34816}} = \frac{160}{\sqrt{34816}} \approx 0.857$. Отсюда $\angle C \approx 31.0^\circ$.

Проверка: $40.6^\circ + 108.4^\circ + 31.0^\circ = 180^\circ$.

Ответ: Углы треугольника $ABC$ примерно равны: $\angle A \approx 40.6^\circ$, $\angle B \approx 108.4^\circ$, $\angle C \approx 31.0^\circ$.

Построение и измерение углов треугольника MNK

Найдём координаты середин $M, N, K$ сторон $AB, BC, AC$ соответственно, по формуле $(\frac{x_1+x_2}{2}; \frac{y_1+y_2}{2})$.

Точка $M$ (середина $AB$): $M(\frac{0+8}{2}; \frac{4+0}{2}) = M(4; 2)$.

Точка $N$ (середина $BC$): $N(\frac{8+16}{2}; \frac{0+8}{2}) = N(12; 4)$.

Точка $K$ (середина $AC$): $K(\frac{0+16}{2}; \frac{4+8}{2}) = K(8; 6)$.

Треугольник $MNK$ называется срединным треугольником для $ABC$. Согласно теореме о средней линии треугольника, каждая сторона срединного треугольника параллельна одной из сторон исходного треугольника и равна её половине.

$MK$ - средняя линия, параллельная $BC$. $NK$ - средняя линия, параллельная $AB$. $MN$ - средняя линия, параллельная $AC$.

Из параллельности сторон следует равенство углов:

$\angle NМK = \angle C \approx 31.0^\circ$ (как углы с соответственно параллельными и противоположно направленными сторонами).

$\angle MNK = \angle A \approx 40.6^\circ$.

$\angle MKN = \angle B \approx 108.4^\circ$.

Ответ: Углы треугольника $MNK$ равны углам треугольника $ABC$: $\angle M \approx 31.0^\circ$, $\angle N \approx 40.6^\circ$, $\angle K \approx 108.4^\circ$.

Повторение эксперимента

Эксперимент 1 (прямоугольный треугольник):

Возьмем треугольник $PQR$ с вершинами $P(0;0)$, $Q(8;0)$, $R(0;6)$.

Это прямоугольный треугольник с $\angle P = 90^\circ$.

$\tan(\angle Q) = 6/8 = 0.75$, так что $\angle Q \approx 36.9^\circ$.

$\angle R = 90^\circ - 36.9^\circ = 53.1^\circ$.

Середины его сторон: $M_{PQ}(4;0)$, $M_{QR}(4;3)$, $M_{PR}(0;3)$.

Срединный треугольник $M_{PQ}M_{QR}M_{PR}$ имеет стороны, параллельные осям координат, следовательно, он тоже прямоугольный, и его угол при вершине $M_{QR}$ равен $90^\circ$. Его углы равны углам исходного треугольника. Наблюдение подтверждается.

Эксперимент 2 (тупоугольный треугольник):

Возьмем треугольник $XYZ$ с вершинами $X(-2;1)$, $Y(5;2)$, $Z(1;5)$.

Вычисления по теореме косинусов дают: $\angle X \approx 47.2^\circ$, $\angle Y \approx 29.5^\circ$, $\angle Z \approx 103.3^\circ$.

Координаты середин его сторон: $M_{XY}(1.5; 1.5)$, $M_{YZ}(3; 3.5)$, $M_{XZ}(-0.5; 3)$.

Для срединного треугольника $M_{XY}M_{YZ}M_{XZ}$ углы будут такими же, как у $XYZ$. Наблюдение снова подтверждается.

Ответ: В обоих экспериментах с произвольными треугольниками было обнаружено, что углы треугольника, образованного серединами сторон, равны углам исходного треугольника.

Сформулируй гипотезу

На основе проведенных экспериментов можно выдвинуть следующую гипотезу.

Ответ: Углы треугольника, вершинами которого являются середины сторон исходного треугольника, равны соответствующим углам исходного треугольника. Иначе говоря, срединный треугольник подобен исходному.

Можно ли считать твою гипотезу верной на основании выполненных построений и измерений?

Нет, на основании нескольких экспериментов, пусть даже и успешных, нельзя считать гипотезу математически доказанной. Эксперименты и измерения (особенно с погрешностями, как при использовании транспортира) могут лишь подсказать верную закономерность и помочь сформулировать гипотезу. Чтобы считать гипотезу верной, то есть теоремой, требуется строгое математическое доказательство, которое будет верным для абсолютно любого треугольника, а не только для трех рассмотренных примеров. Такое доказательство в геометрии существует и основывается на свойствах средней линии треугольника, которая параллельна основанию и равна его половине. Это свойство и доказывает подобие срединного треугольника исходному, а следовательно, и равенство их углов.

Ответ: Нет, считать гипотезу верной (доказанной) только на основании нескольких экспериментов нельзя. Это требует строгого математического доказательства.