Номер 460, страница 95, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

460 Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями:

а) $\frac{693 + 207}{693}$;

б) $\frac{108}{1080 + 324}$;

в) $\frac{56 \cdot 15 \cdot 21}{27 \cdot 49 \cdot 10}$;

г) $\frac{35 \cdot 36}{35 \cdot 6 + 35 \cdot 36}$;

д) $\frac{48ab}{56bcd}$;

е) $\frac{4m^3nk}{24m^2n^4}$;

ж) $\frac{x(t + k)}{y(t + k)}$;

з) $\frac{ab - ac}{bd - cd}$.

а) Чтобы сократить дробь, сначала выполним сложение в числителе: $693 + 207 = 900$. Дробь принимает вид $\frac{900}{693}$. Для сокращения дроби найдем общий делитель для числителя и знаменателя. Сумма цифр в обоих числах делится на 9 (сумма цифр 900 равна 9, сумма цифр 693 равна 18), поэтому оба числа делятся на 9. Разделим числитель и знаменатель на 9: $\frac{900 \div 9}{693 \div 9} = \frac{100}{77}$. Числа 100 и 77 являются взаимно простыми, так как у них нет общих делителей, кроме 1.
Ответ: $\frac{100}{77}$.

б) Сначала выполним сложение в знаменателе: $1080 + 324 = 1404$. Дробь принимает вид $\frac{108}{1404}$. Чтобы сократить дробь, найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя. Заметим, что $1404 = 108 \cdot 10 + 108 \cdot 3 = 108 \cdot (10+3) = 108 \cdot 13$. Таким образом, дробь можно переписать как $\frac{108}{108 \cdot 13}$. Сократив на 108, получаем $\frac{1}{13}$.
Ответ: $\frac{1}{13}$.

в) Чтобы сократить дробь, разложим числа в числителе и знаменателе на простые множители и сократим общие.

$56 = 7 \cdot 8 = 7 \cdot 2^3$

$15 = 3 \cdot 5$

$21 = 3 \cdot 7$

$27 = 3^3$

$49 = 7^2$

$10 = 2 \cdot 5$

Подставим разложения в дробь: $\frac{(7 \cdot 2^3) \cdot (3 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 7)}{3^3 \cdot 7^2 \cdot (2 \cdot 5)} = \frac{2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7^2}{2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7^2}$.

Сократим степени с одинаковыми основаниями: $2^{3-1} \cdot 3^{2-3} \cdot 5^{1-1} \cdot 7^{2-2} = 2^2 \cdot 3^{-1} \cdot 5^0 \cdot 7^0 = 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$.

г) В знаменателе можно вынести за скобки общий множитель 35: $35 \cdot 6 + 35 \cdot 36 = 35 \cdot (6 + 36) = 35 \cdot 42$.

Теперь дробь имеет вид $\frac{35 \cdot 36}{35 \cdot 42}$. Сокращаем на общий множитель 35, получаем $\frac{36}{42}$.

Дробь $\frac{36}{42}$ можно сократить, так как и числитель, и знаменатель делятся на 6.

$\frac{36 \div 6}{42 \div 6} = \frac{6}{7}$.
Ответ: $\frac{6}{7}$.

д) Сократим отдельно числовые коэффициенты и переменные.

Числовые коэффициенты: $\frac{48}{56}$. Наибольший общий делитель для 48 и 56 равен 8. $\frac{48 \div 8}{56 \div 8} = \frac{6}{7}$.

Переменные: $\frac{ab}{bcd}$. Сокращаем на общий множитель $b$: $\frac{a}{cd}$.

Объединяем полученные результаты: $\frac{6a}{7cd}$.
Ответ: $\frac{6a}{7cd}$.

е) Сократим отдельно числовые коэффициенты и переменные.

Числовые коэффициенты: $\frac{4}{24} = \frac{1}{6}$.

Переменные, используя правило деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):

$\frac{m^3}{m^2} = m^{3-2} = m^1 = m$.

$\frac{n}{n^4} = n^{1-4} = n^{-3} = \frac{1}{n^3}$.

Переменная $k$ остается в числителе.

Собираем все части вместе: $\frac{1 \cdot m \cdot k}{6 \cdot n^3} = \frac{mk}{6n^3}$.
Ответ: $\frac{mk}{6n^3}$.

ж) В числителе и знаменателе дроби есть общий множитель $(t+k)$. При условии, что $t+k \neq 0$, мы можем сократить дробь на этот множитель.

$\frac{x(t+k)}{y(t+k)} = \frac{x}{y}$.
Ответ: $\frac{x}{y}$.

з) Для сокращения дроби вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе.

В числителе общий множитель $a$: $ab - ac = a(b-c)$.

В знаменателе общий множитель $d$: $bd - cd = d(b-c)$.

Дробь принимает вид $\frac{a(b-c)}{d(b-c)}$.

При условии, что $b-c \neq 0$, сокращаем на общий множитель $(b-c)$: $\frac{a}{d}$.
Ответ: $\frac{a}{d}$.