Номер 458, страница 95, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

458 Вычисли:

1) $2^3 \cdot 5^2 \cdot 2^2 \cdot 5^3$;

2) $5^4 \cdot 2^2 \cdot 2^4 \cdot 5 \cdot 5^2 \cdot 2$.

1) $2^3 \cdot 5^2 \cdot 2^2 \cdot 5^3$

Чтобы вычислить значение выражения, сгруппируем множители с одинаковыми основаниями. Для этого воспользуемся переместительным законом умножения:

$2^3 \cdot 5^2 \cdot 2^2 \cdot 5^3 = (2^3 \cdot 2^2) \cdot (5^2 \cdot 5^3)$

При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$(2^3 \cdot 2^2) \cdot (5^2 \cdot 5^3) = 2^{3+2} \cdot 5^{2+3} = 2^5 \cdot 5^5$

При умножении степеней с одинаковыми показателями их основания перемножаются ($a^m \cdot b^m = (a \cdot b)^m$):

$2^5 \cdot 5^5 = (2 \cdot 5)^5 = 10^5$

Вычислим полученное значение:

$10^5 = 100000$

Ответ: 100000

2) $5^4 \cdot 2^2 \cdot 2^4 \cdot 5 \cdot 5^2 \cdot 2$

Сначала сгруппируем множители с основаниями 5 и 2. Учтем, что $5 = 5^1$ и $2 = 2^1$.

$5^4 \cdot 2^2 \cdot 2^4 \cdot 5 \cdot 5^2 \cdot 2 = (5^4 \cdot 5^1 \cdot 5^2) \cdot (2^2 \cdot 2^4 \cdot 2^1)$

Сложим показатели степеней для каждого основания:

$(5^{4+1+2}) \cdot (2^{2+4+1}) = 5^7 \cdot 2^7$

Теперь воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковыми показателями:

$5^7 \cdot 2^7 = (5 \cdot 2)^7 = 10^7$

Вычислим конечный результат:

$10^7 = 10000000$

Ответ: 10000000