Номер 459, страница 95, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

459 1) Числитель дроби больше её знаменателя на 5. Может ли быть сократима эта дробь?

2) Числитель и знаменатель дроби отличаются на 7. В каких случаях эта дробь сократима?

1)

Пусть знаменатель дроби равен $d$, а числитель равен $n$. По условию, $n = d + 5$. Дробь имеет вид $\frac{d+5}{d}$.
Дробь является сократимой, если её числитель и знаменатель имеют общий делитель, больший 1. Обозначим этот общий делитель как $k$.
Если число $k$ является делителем и для числителя $(d+5)$, и для знаменателя $d$, то оно также должно быть делителем их разности.
Разность между числителем и знаменателем составляет $(d+5) - d = 5$.
Следовательно, общий делитель $k$ должен быть делителем числа 5. У числа 5 есть только два натуральных делителя: 1 и 5.
Поскольку для сократимости дроби общий делитель $k$ должен быть больше 1, то единственно возможный вариант — это $k=5$.
Это означает, что дробь может быть сократима только на 5. Это произойдет, если и числитель, и знаменатель будут кратны 5.
Проверим, возможно ли это. Если знаменатель $d$ кратен 5 (например, $d = 5, 10, 15, \dots$), то числитель $n = d+5$ также будет кратен 5.
Например, возьмем знаменатель $d = 10$. Тогда числитель будет $n = 10 + 5 = 15$. Дробь $\frac{15}{10}$ сократима на 5: $\frac{15}{10} = \frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{3}{2}$.
Следовательно, такая дробь может быть сократимой.
Ответ: Да, может.

2)

Пусть числитель дроби равен $n$, а знаменатель — $d$. По условию, они отличаются на 7, то есть $|n - d| = 7$.
Дробь сократима, если у числителя $n$ и знаменателя $d$ есть общий делитель $k$, который больше 1.
Если $k$ делит и $n$, и $d$, то он должен делить и их разность $|n - d|$.
Поскольку разность равна 7, то $k$ должен быть делителем числа 7. Число 7 — простое, его натуральные делители — это 1 и 7.
Так как для сократимости требуется $k > 1$, то единственным возможным общим делителем является $k=7$.
Следовательно, дробь сократима тогда и только тогда, когда и числитель, и знаменатель делятся на 7.
Заметим, что если одно из чисел (числитель или знаменатель) делится на 7, то и второе, отличающееся от него на 7, также будет делиться на 7. Например, если $d$ кратно 7, то $d=7m$ для некоторого целого $m$. Тогда $n$ может быть $d+7=7m+7=7(m+1)$ или $d-7=7m-7=7(m-1)$, то есть $n$ в любом случае кратно 7.
Таким образом, дробь сократима в тех случаях, когда оба числа, числитель и знаменатель, кратны 7.
Например, дробь $\frac{21}{14}$. Числитель и знаменатель отличаются на 7 ($21-14=7$), оба кратны 7, и дробь сократима: $\frac{21}{14} = \frac{3 \cdot 7}{2 \cdot 7} = \frac{3}{2}$.
Ответ: Эта дробь сократима в тех случаях, когда и числитель, и знаменатель являются числами, кратными 7.