Номер 455, страница 95, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

455 Переведи высказывания с русского языка на математический. Определи вид высказываний. Докажи или опровергни их.

1) Квадрат суммы двух чисел равен сумме их квадратов. $(a+b)^2 = a^2 + b^2$

2) Существуют числа, квадрат суммы которых равен сумме их квадратов. $\exists a, b : (a+b)^2 = a^2 + b^2$

3) Квадрат разности двух чисел равен разности их квадратов. $(a-b)^2 = a^2 - b^2$

4) Существуют числа, квадрат разности которых равен разности их квадратов. $\exists a, b : (a-b)^2 = a^2 - b^2$

1)

Перевод высказывания «Квадрат суммы двух чисел равен сумме их квадратов» на математический язык: $ \forall a, b \in \mathbb{R}: (a + b)² = a² + b² $.
Это общее высказывание, так как оно постулирует, что равенство верно для любой пары чисел $a$ и $b$.
Для проверки истинности раскроем левую часть по формуле сокращенного умножения «квадрат суммы»: $(a + b)² = a² + 2ab + b²$.
Подставим это выражение в исходное равенство: $a² + 2ab + b² = a² + b²$.
После вычитания $a² + b²$ из обеих частей получим: $2ab = 0$.
Это равенство выполняется только в том случае, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю, то есть $a=0$ или $b=0$. Поскольку это условие выполняется не для всех пар чисел, исходное высказывание является ложным.
Для опровержения общего высказывания достаточно привести один контрпример. Пусть $a = 1$ и $b = 2$.
Левая часть: $(1 + 2)² = 3² = 9$.
Правая часть: $1² + 2² = 1 + 4 = 5$.
Так как $9 \neq 5$, высказывание опровергнуто.
Ответ: высказывание ложно.

2)

Перевод высказывания «Существуют числа, квадрат суммы которых равен сумме их квадратов» на математический язык: $ \exists a, b \in \mathbb{R}: (a + b)² = a² + b² $.
Это высказывание о существовании, так как утверждается, что найдется хотя бы одна пара чисел, для которой равенство будет верным.
Как было показано в пункте 1, равенство $(a + b)² = a² + b²$ эквивалентно равенству $2ab = 0$. Это верно, если $a=0$ или $b=0$.
Чтобы доказать истинность высказывания о существовании, достаточно привести один пример.
Пусть $a = 5$ и $b = 0$.
Левая часть: $(5 + 0)² = 5² = 25$.
Правая часть: $5² + 0² = 25 + 0 = 25$.
Так как $25 = 25$, равенство выполняется. Следовательно, такие числа существуют.
Ответ: высказывание истинно.

3)

Перевод высказывания «Квадрат разности двух чисел равен разности их квадратов» на математический язык: $ \forall a, b \in \mathbb{R}: (a - b)² = a² - b² $.
Это общее высказывание.
Для проверки раскроем левую часть по формуле «квадрат разности»: $(a - b)² = a² - 2ab + b²$.
Приравняем это выражение к правой части исходного равенства: $a² - 2ab + b² = a² - b²$.
Упростим выражение: $-2ab + b² = -b²$, что эквивалентно $2b² - 2ab = 0$.
Вынесем общий множитель за скобки: $2b(b - a) = 0$.
Это равенство выполняется только при $b=0$ или при $b=a$. Так как это верно не для всех пар чисел, общее высказывание ложно.
Приведем контрпример. Пусть $a = 3$ и $b = 2$.
Левая часть: $(3 - 2)² = 1² = 1$.
Правая часть: $3² - 2² = 9 - 4 = 5$.
Так как $1 \neq 5$, высказывание опровергнуто.
Ответ: высказывание ложно.

4)

Перевод высказывания «Существуют числа, квадрат разности которых равен разности их квадратов» на математический язык: $ \exists a, b \in \mathbb{R}: (a - b)² = a² - b² $.
Это высказывание о существовании.
Как было установлено в пункте 3, равенство $(a - b)² = a² - b²$ выполняется, если $2b(b-a)=0$, то есть при $b=0$ или $b=a$.
Для доказательства истинности высказывания достаточно найти хотя бы одну пару чисел, удовлетворяющую этому условию.
Пример 1 (случай $b=0$): пусть $a = 7, b = 0$.
Левая часть: $(7 - 0)² = 7² = 49$.
Правая часть: $7² - 0² = 49 - 0 = 49$.
Равенство выполняется.
Пример 2 (случай $a=b$): пусть $a = 5, b = 5$.
Левая часть: $(5 - 5)² = 0² = 0$.
Правая часть: $5² - 5² = 25 - 25 = 0$.
Равенство выполняется.
Поскольку мы нашли числа, для которых равенство верно, высказывание является истинным.
Ответ: высказывание истинно.