Номер 448, страница 93, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

448 Найди значение выражения разными способами. Какой из них ты считаешь наиболее удобным?

а) $ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{9} + \frac{1}{18} $;

б) $ \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - \frac{1}{16} + \frac{1}{32} - \frac{1}{64} $;

в) $ 3\frac{1}{5} - 1\frac{7}{10} + 5\frac{1}{2} $;

г) $ 4\frac{2}{11} - \frac{1}{2} - 1\frac{5}{22} $.

93

а)

Способ 1: Приведение всех дробей к общему знаменателю.

Найдем наименьший общий знаменатель для чисел 2, 3, 6, 9 и 18. Это 18. Приведем все дроби к этому знаменателю и сложим их.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{9} + \frac{1}{18} = \frac{1 \cdot 9}{18} + \frac{1 \cdot 6}{18} + \frac{1 \cdot 3}{18} + \frac{1 \cdot 2}{18} + \frac{1}{18} = \frac{9+6+3+2+1}{18} = \frac{21}{18}$

Сократим дробь и выделим целую часть: $\frac{21}{18} = \frac{7 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}$.

Способ 2: Группировка слагаемых.

Сгруппируем дроби так, чтобы их было удобнее складывать. Например, заметим, что сумма первых трех дробей дает целое число.

$(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}) + (\frac{1}{9} + \frac{1}{18})$

Сначала вычислим первую скобку: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

Теперь вторую скобку: $\frac{1}{9} + \frac{1}{18} = \frac{2}{18} + \frac{1}{18} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$.

Сложим результаты: $1 + \frac{1}{6} = 1\frac{1}{6}$.

Второй способ (группировка) является более удобным, так как он позволяет работать с меньшими числами и упрощает вычисления на промежуточных этапах.

Ответ: $1\frac{1}{6}$.

б)

Способ 1: Приведение к общему знаменателю.

Общий знаменатель для всех дробей (2, 4, 8, 16, 32, 64) равен 64. Приведем все дроби к этому знаменателю.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - \frac{1}{16} + \frac{1}{32} - \frac{1}{64} = \frac{32}{64} - \frac{16}{64} + \frac{8}{64} - \frac{4}{64} + \frac{2}{64} - \frac{1}{64} = \frac{32 - 16 + 8 - 4 + 2 - 1}{64} = \frac{21}{64}$.

Способ 2: Попарная группировка.

Сгруппируем слагаемые попарно:

$(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{8} - \frac{1}{16}) + (\frac{1}{32} - \frac{1}{64})$

Вычислим значение каждой скобки:

$\frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

$\frac{1}{8} - \frac{1}{16} = \frac{2}{16} - \frac{1}{16} = \frac{1}{16}$

$\frac{1}{32} - \frac{1}{64} = \frac{2}{64} - \frac{1}{64} = \frac{1}{64}$

Теперь сложим полученные результаты: $\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} = \frac{16}{64} + \frac{4}{64} + \frac{1}{64} = \frac{16+4+1}{64} = \frac{21}{64}$.

Второй способ кажется более удобным, так как он разбивает одну большую задачу на несколько маленьких и более простых.

Ответ: $\frac{21}{64}$.

в)

Способ 1: Работа с целыми и дробными частями по отдельности.

Сначала выполним действия с целыми частями, а затем с дробными:

$3\frac{1}{5} - 1\frac{7}{10} + 5\frac{1}{2} = (3 - 1 + 5) + (\frac{1}{5} - \frac{7}{10} + \frac{1}{2})$

Целая часть: $3 - 1 + 5 = 7$.

Дробная часть: $\frac{1}{5} - \frac{7}{10} + \frac{1}{2}$. Приведем к общему знаменателю 10: $\frac{2}{10} - \frac{7}{10} + \frac{5}{10} = \frac{2 - 7 + 5}{10} = \frac{0}{10} = 0$.

Складываем целую и дробную части: $7 + 0 = 7$.

Способ 2: Преобразование в неправильные дроби.

Преобразуем все смешанные числа в неправильные дроби:

$3\frac{1}{5} = \frac{16}{5}$; $1\frac{7}{10} = \frac{17}{10}$; $5\frac{1}{2} = \frac{11}{2}$.

Выполним вычисления: $\frac{16}{5} - \frac{17}{10} + \frac{11}{2}$.

Приведем к общему знаменателю 10: $\frac{16 \cdot 2}{10} - \frac{17}{10} + \frac{11 \cdot 5}{10} = \frac{32}{10} - \frac{17}{10} + \frac{55}{10} = \frac{32 - 17 + 55}{10} = \frac{15 + 55}{10} = \frac{70}{10} = 7$.

В данном случае первый способ (работа с целыми и дробными частями) оказался быстрее и удобнее, так как дробные части в сумме дали ноль.

Ответ: $7$.

г)

Способ 1: Работа с целыми и дробными частями.

Сгруппируем целые и дробные части: $4\frac{2}{11} - \frac{1}{2} - 1\frac{5}{22} = (4 - 1) + (\frac{2}{11} - \frac{1}{2} - \frac{5}{22})$.

Целая часть: $4 - 1 = 3$.

Дробная часть: $\frac{2}{11} - \frac{1}{2} - \frac{5}{22}$. Общий знаменатель 22.

$\frac{2 \cdot 2}{22} - \frac{1 \cdot 11}{22} - \frac{5}{22} = \frac{4 - 11 - 5}{22} = \frac{-12}{22} = -\frac{6}{11}$.

Теперь нужно вычесть полученную дробь из целой части: $3 - \frac{6}{11} = 2 + 1 - \frac{6}{11} = 2 + \frac{11}{11} - \frac{6}{11} = 2\frac{5}{11}$.

Способ 2: Преобразование в неправильные дроби.

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$4\frac{2}{11} = \frac{46}{11}$; $1\frac{5}{22} = \frac{27}{22}$.

Подставим их в выражение: $\frac{46}{11} - \frac{1}{2} - \frac{27}{22}$.

Приведем все дроби к общему знаменателю 22:

$\frac{46 \cdot 2}{22} - \frac{1 \cdot 11}{22} - \frac{27}{22} = \frac{92}{22} - \frac{11}{22} - \frac{27}{22} = \frac{92 - 11 - 27}{22} = \frac{81 - 27}{22} = \frac{54}{22}$.

Сократим дробь и преобразуем ее в смешанное число: $\frac{54}{22} = \frac{27}{11} = 2\frac{5}{11}$.

В этом примере второй способ (преобразование в неправильные дроби) может быть удобнее, так как он позволяет избежать вычитания из целого числа и связанных с этим "заимствований".

Ответ: $2\frac{5}{11}$.