Номер 445, страница 93, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

445 Вычисли, используя распределительное свойство умножения:

а) $\frac{3\frac{5}{11} \cdot 6\frac{3}{4}}{3\frac{5}{11} \cdot 6\frac{3}{4} + 3\frac{5}{11} \cdot 1\frac{1}{2}}$

б) $\frac{2\frac{5}{9} \cdot 1\frac{7}{8} + 2\frac{4}{9} \cdot 1\frac{7}{8}}{(1\frac{7}{8})^2}$

в) $\frac{4\frac{2}{9} \cdot 5\frac{1}{2} + 4\frac{2}{9} \cdot 3\frac{1}{2}}{4\frac{2}{9} \cdot 5\frac{1}{2} - 4\frac{2}{9} \cdot 3\frac{1}{2}}$

а) $ \frac{3\frac{5}{11} \cdot 6\frac{3}{4}}{3\frac{5}{11} \cdot 6\frac{3}{4} + 3\frac{5}{11} \cdot 1\frac{1}{2}} $

В знаменателе дроби есть общий множитель $3\frac{5}{11}$. Используя распределительное свойство умножения $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b+c)$, вынесем его за скобки:

$ 3\frac{5}{11} \cdot 6\frac{3}{4} + 3\frac{5}{11} \cdot 1\frac{1}{2} = 3\frac{5}{11} \cdot (6\frac{3}{4} + 1\frac{1}{2}) $

Теперь исходное выражение выглядит так:

$ \frac{3\frac{5}{11} \cdot 6\frac{3}{4}}{3\frac{5}{11} \cdot (6\frac{3}{4} + 1\frac{1}{2})} $

Сократим общий множитель $3\frac{5}{11}$ в числителе и знаменателе:

$ \frac{6\frac{3}{4}}{6\frac{3}{4} + 1\frac{1}{2}} $

Вычислим сумму в знаменателе:

$ 6\frac{3}{4} + 1\frac{1}{2} = 6\frac{3}{4} + 1\frac{2}{4} = 7\frac{5}{4} = 8\frac{1}{4} $

Получаем дробь:

$ \frac{6\frac{3}{4}}{8\frac{1}{4}} $

Для выполнения деления преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$ 6\frac{3}{4} = \frac{6 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{27}{4} $;

$ 8\frac{1}{4} = \frac{8 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{33}{4} $.

Теперь разделим дроби:

$ \frac{27}{4} \div \frac{33}{4} = \frac{27}{4} \cdot \frac{4}{33} = \frac{27}{33} $

Сократим полученную дробь на 3:

$ \frac{27 \div 3}{33 \div 3} = \frac{9}{11} $

Ответ: $ \frac{9}{11} $.

б) $ \frac{2\frac{5}{9} \cdot 1\frac{7}{8} + 2\frac{4}{9} \cdot 1\frac{7}{8}}{(1\frac{7}{8})^2} $

В числителе дроби есть общий множитель $1\frac{7}{8}$. Вынесем его за скобки, используя распределительное свойство $a \cdot c + b \cdot c = (a+b) \cdot c$:

$ (2\frac{5}{9} + 2\frac{4}{9}) \cdot 1\frac{7}{8} $

Вычислим сумму в скобках:

$ 2\frac{5}{9} + 2\frac{4}{9} = 4\frac{5+4}{9} = 4\frac{9}{9} = 5 $

Таким образом, числитель равен $5 \cdot 1\frac{7}{8}$. Знаменатель равен $(1\frac{7}{8})^2 = 1\frac{7}{8} \cdot 1\frac{7}{8}$. Выражение принимает вид:

$ \frac{5 \cdot 1\frac{7}{8}}{1\frac{7}{8} \cdot 1\frac{7}{8}} $

Сократим общий множитель $1\frac{7}{8}$:

$ \frac{5}{1\frac{7}{8}} $

Для вычисления преобразуем смешанное число в знаменателе в неправильную дробь:

$ 1\frac{7}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 7}{8} = \frac{15}{8} $

Выполним деление:

$ 5 \div \frac{15}{8} = 5 \cdot \frac{8}{15} = \frac{5 \cdot 8}{15} = \frac{40}{15} $

Сократим дробь на 5:

$ \frac{40 \div 5}{15 \div 5} = \frac{8}{3} $

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$ \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} $

Ответ: $ 2\frac{2}{3} $.

в) $ \frac{4\frac{2}{9} \cdot 5\frac{1}{2} + 4\frac{2}{9} \cdot 3\frac{1}{2}}{4\frac{2}{9} \cdot 5\frac{1}{2} - 4\frac{2}{9} \cdot 3\frac{1}{2}} $

В числителе и в знаменателе есть общий множитель $4\frac{2}{9}$. Применим распределительное свойство, вынеся его за скобки и в числителе, и в знаменателе.

Числитель: $ 4\frac{2}{9} \cdot (5\frac{1}{2} + 3\frac{1}{2}) $

Знаменатель: $ 4\frac{2}{9} \cdot (5\frac{1}{2} - 3\frac{1}{2}) $

Выражение принимает вид:

$ \frac{4\frac{2}{9} \cdot (5\frac{1}{2} + 3\frac{1}{2})}{4\frac{2}{9} \cdot (5\frac{1}{2} - 3\frac{1}{2})} $

Сократим общий множитель $4\frac{2}{9}$:

$ \frac{5\frac{1}{2} + 3\frac{1}{2}}{5\frac{1}{2} - 3\frac{1}{2}} $

Теперь вычислим значение числителя и знаменателя отдельно.

Числитель: $ 5\frac{1}{2} + 3\frac{1}{2} = (5+3) + (\frac{1}{2}+\frac{1}{2}) = 8+1 = 9 $

Знаменатель: $ 5\frac{1}{2} - 3\frac{1}{2} = (5-3) + (\frac{1}{2}-\frac{1}{2}) = 2+0 = 2 $

В результате получаем дробь:

$ \frac{9}{2} $

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$ \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} $

Ответ: $ 4\frac{1}{2} $.