Номер 438, страница 89, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

438 Докажи, что среди любых восьми различных натуральных чисел найдутся хотя бы два числа, разность которых делится на 7.

Для решения этой задачи воспользуемся принципом Дирихле. Принцип Дирихле гласит, что если имеется $n$ ящиков и $m$ предметов, и $m > n$, то по крайней-мере в одном ящике будет находиться более одного предмета.

Рассмотрим остатки от деления натуральных чисел на 7. При делении любого натурального числа на 7 могут получиться следующие остатки: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Всего существует 7 возможных различных остатков.

В нашей задаче даны 8 различных натуральных чисел. Будем считать эти 8 чисел "предметами" (в классической формулировке "кроликами"), а 7 возможных остатков от деления на 7 — "ящиками" ("клетками").

Поскольку у нас 8 чисел ("предметов") и только 7 возможных остатков ("ящиков"), то согласно принципу Дирихле, так как $8 > 7$, по крайней мере два числа из этих восьми должны иметь одинаковый остаток при делении на 7.

Обозначим эти два числа как $a$ и $b$. Пусть они оба дают одинаковый остаток $r$ при делении на 7. Это можно записать в виде:

$a = 7k_1 + r$

$b = 7k_2 + r$

где $k_1$ и $k_2$ — некоторые целые числа (частные от деления), а $r$ — их общий остаток ($0 \le r \le 6$). Поскольку по условию числа $a$ и $b$ различны, то $a \neq b$, что означает $k_1 \neq k_2$.

Теперь найдем разность этих двух чисел:

$a - b = (7k_1 + r) - (7k_2 + r) = 7k_1 + r - 7k_2 - r = 7k_1 - 7k_2 = 7(k_1 - k_2)$.

Поскольку $k_1$ и $k_2$ — целые числа, то их разность $(k_1 - k_2)$ также является целым числом. Следовательно, разность $a - b$ представляет собой произведение числа 7 и целого числа, что по определению означает, что разность $a-b$ делится на 7 без остатка. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано с помощью принципа Дирихле. Так как при делении на 7 существует 7 возможных остатков, а чисел у нас 8, то как минимум два числа будут иметь одинаковый остаток. Разность этих двух чисел будет делиться на 7.