Номер 431, страница 87, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

431 Найди дробь, знаменателем которой является однозначное число и которая

больше $ \frac{7}{9} $, но меньше $ \frac{8}{9} $.

431

Нам нужно найти дробь $x$, которая удовлетворяет двойному неравенству $ \frac{7}{9} < x < \frac{8}{9} $, при этом знаменатель дроби $x$ должен быть однозначным числом.

Обозначим искомую дробь как $ \frac{a}{b} $, где $b$ — однозначное натуральное число, то есть $b \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

Чтобы найти такую дробь, удобно привести дроби $ \frac{7}{9} $ и $ \frac{8}{9} $ к другому знаменателю, чтобы "расширить" промежуток между числителями. Между целыми числами 7 и 8 нет других целых чисел. Умножим числитель и знаменатель обеих дробей, например, на 2:

$ \frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{14}{18} $

$ \frac{8}{9} = \frac{8 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{16}{18} $

Теперь наше неравенство выглядит так: $ \frac{14}{18} < x < \frac{16}{18} $.

Очевидно, что между дробями $ \frac{14}{18} $ и $ \frac{16}{18} $ находится дробь $ \frac{15}{18} $. Проверим, подходит ли она под условия задачи. Для этого нужно сократить дробь и посмотреть на ее знаменатель.

Найдем наибольший общий делитель для 15 и 18. Это число 3. Сократим дробь:

$ \frac{15}{18} = \frac{15 \div 3}{18 \div 3} = \frac{5}{6} $

Полученная дробь $ \frac{5}{6} $ имеет знаменатель 6. Число 6 является однозначным. Таким образом, дробь $ \frac{5}{6} $ удовлетворяет всем условиям задачи.

Проверим это: $ \frac{7}{9} < \frac{5}{6} $ (так как $ \frac{14}{18} < \frac{15}{18} $, что верно) и $ \frac{5}{6} < \frac{8}{9} $ (так как $ \frac{15}{18} < \frac{16}{18} $, что также верно).

Стоит отметить, что это не единственное решение. Например, дробь $ \frac{4}{5} $ также удовлетворяет условию.

Ответ: $ \frac{5}{6} $