Номер 430, страница 87, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

430 Сократи дробь, если значения всех переменных — натуральные числа:

a) $\frac{450}{4200}$;

б) $\frac{2^3 \cdot 3 \cdot 5^2}{2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7}$;

в) $\frac{12 \cdot 5 - 12 \cdot 3}{12 \cdot 4}$;

г) $\frac{a^2b^3c}{abc^2}$;

д) $\frac{2x + 4x}{2xy}$.

431 Найд...

а) Чтобы сократить дробь $\frac{450}{4200}$, найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя или будем сокращать пошагово.

Сначала сократим дробь на 10, убрав по одному нулю в числителе и знаменателе:

$\frac{450}{4200} = \frac{45}{420}$.

Числитель и знаменатель делятся на 5:

$45 = 5 \cdot 9$

$420 = 5 \cdot 84$

Получаем $\frac{9}{84}$.

Теперь числитель и знаменатель делятся на 3:

$9 = 3 \cdot 3$

$84 = 3 \cdot 28$

Получаем $\frac{3}{28}$.

Так как 3 и 28 не имеют общих делителей кроме 1, дробь является несократимой.
Ответ: $\frac{3}{28}$

б) Для сокращения дроби $\frac{2^3 \cdot 3 \cdot 5^2}{2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7}$ воспользуемся свойством степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Сокращаем степени с одинаковыми основаниями:

$\frac{2^3}{2} = 2^{3-1} = 2^2 = 4$.

$\frac{3}{3^2} = \frac{1}{3^{2-1}} = \frac{1}{3}$.

$\frac{5^2}{5} = 5^{2-1} = 5$.

Множитель 7 остается в знаменателе.

Перемножим полученные результаты:

$\frac{2^2 \cdot 5}{3 \cdot 7} = \frac{4 \cdot 5}{21} = \frac{20}{21}$.
Ответ: $\frac{20}{21}$

в) В дроби $\frac{12 \cdot 5 - 12 \cdot 3}{12 \cdot 4}$ вынесем в числителе общий множитель 12 за скобки:

$12 \cdot 5 - 12 \cdot 3 = 12 \cdot (5 - 3)$.

Выполним вычитание в скобках: $5 - 3 = 2$.

Теперь дробь выглядит так:

$\frac{12 \cdot 2}{12 \cdot 4}$.

Сократим общий множитель 12 в числителе и знаменателе:

$\frac{2}{4}$.

Сократим полученную дробь на 2:

$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

г) Для сокращения дроби $\frac{a^2b^3c}{abc^2}$ с натуральными значениями переменных, используем свойство степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$.

Сократим по каждой переменной:

Для $a$: $\frac{a^2}{a} = a^{2-1} = a^1 = a$.

Для $b$: $\frac{b^3}{b} = b^{3-1} = b^2$.

Для $c$: $\frac{c}{c^2} = c^{1-2} = c^{-1} = \frac{1}{c}$.

Объединим результаты:

$a \cdot b^2 \cdot \frac{1}{c} = \frac{ab^2}{c}$.
Ответ: $\frac{ab^2}{c}$

д) В дроби $\frac{2x + 4x}{2xy}$ сначала упростим числитель, сложив подобные слагаемые:

$2x + 4x = 6x$.

Дробь примет вид:

$\frac{6x}{2xy}$.

Теперь сократим дробь. Сократим числовые коэффициенты 6 и 2 на 2:

$\frac{6}{2} = 3$.

Сократим переменную $x$, так как она есть и в числителе, и в знаменателе:

$\frac{6x}{2xy} = \frac{3 \cdot 2 \cdot x}{2 \cdot x \cdot y} = \frac{3}{y}$.
Ответ: $\frac{3}{y}$