Номер 428, страница 87, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

428 Реши уравнения:

1) $10:1\frac{7}{8} = 8x - 2x + x - 3x;$

2) $3\frac{2}{45}x + 1\frac{7}{30}x = 6\frac{1}{9};$

3) $(8\frac{2}{5} : x + 3\frac{5}{9}) : 4\frac{1}{6} = 1\frac{1}{3};$

4) $(5\frac{1}{6} - x) \cdot 2\frac{7}{10} - 1\frac{3}{14} = 3\frac{2}{7}.$

1)

Исходное уравнение: $10 : 1\frac{7}{8} = 8x - 2x + x - 3x$.

Сначала упростим обе части уравнения. В левой части выполним деление, предварительно превратив смешанное число в неправильную дробь:

$1\frac{7}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 7}{8} = \frac{15}{8}$

$10 : \frac{15}{8} = 10 \cdot \frac{8}{15} = \frac{10 \cdot 8}{15} = \frac{2 \cdot 5 \cdot 8}{3 \cdot 5} = \frac{16}{3}$

В правой части приведем подобные слагаемые:

$8x - 2x + x - 3x = (8 - 2 + 1 - 3)x = 4x$

Теперь уравнение имеет вид:

$\frac{16}{3} = 4x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 4:

$x = \frac{16}{3} : 4 = \frac{16}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$x = 1\frac{1}{3}$

Ответ: $1\frac{1}{3}$.

2)

Исходное уравнение: $3\frac{2}{45}x + 1\frac{7}{30}x = 6\frac{1}{9}$.

Вынесем $x$ за скобки:

$(3\frac{2}{45} + 1\frac{7}{30})x = 6\frac{1}{9}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$3\frac{2}{45} = \frac{3 \cdot 45 + 2}{45} = \frac{137}{45}$

$1\frac{7}{30} = \frac{1 \cdot 30 + 7}{30} = \frac{37}{30}$

$6\frac{1}{9} = \frac{6 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{55}{9}$

Теперь сложим дроби в скобках. Найдем общий знаменатель для 45 и 30. НОК(45, 30) = 90.

$\frac{137}{45} + \frac{37}{30} = \frac{137 \cdot 2}{90} + \frac{37 \cdot 3}{90} = \frac{274}{90} + \frac{111}{90} = \frac{385}{90}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5: $\frac{385}{90} = \frac{77}{18}$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{77}{18}x = \frac{55}{9}$

Найдем $x$:

$x = \frac{55}{9} : \frac{77}{18} = \frac{55}{9} \cdot \frac{18}{77}$

Сократим дроби перед умножением: $55$ и $77$ на $11$, $18$ и $9$ на $9$.

$x = \frac{5 \cdot 11}{9} \cdot \frac{18}{7 \cdot 11} = \frac{5}{9} \cdot \frac{18}{7} = \frac{5 \cdot 2}{7} = \frac{10}{7}$

Преобразуем в смешанное число:

$x = 1\frac{3}{7}$

Ответ: $1\frac{3}{7}$.

3)

Исходное уравнение: $(8\frac{2}{5} : x + 3\frac{5}{9}) : 4\frac{1}{6} = 1\frac{1}{3}$.

Найдем значение выражения в скобках, которое является делимым.

$8\frac{2}{5} : x + 3\frac{5}{9} = 1\frac{1}{3} \cdot 4\frac{1}{6}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби и выполним умножение:

$1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$; $4\frac{1}{6} = \frac{25}{6}$

$\frac{4}{3} \cdot \frac{25}{6} = \frac{4 \cdot 25}{3 \cdot 6} = \frac{100}{18} = \frac{50}{9}$

Теперь уравнение выглядит так:

$8\frac{2}{5} : x + 3\frac{5}{9} = \frac{50}{9}$

Теперь найдем неизвестное слагаемое $8\frac{2}{5} : x$.

$8\frac{2}{5} : x = \frac{50}{9} - 3\frac{5}{9}$

Преобразуем $3\frac{5}{9}$ в неправильную дробь: $3\frac{5}{9} = \frac{3 \cdot 9 + 5}{9} = \frac{32}{9}$.

$\frac{50}{9} - \frac{32}{9} = \frac{18}{9} = 2$

Получаем более простое уравнение:

$8\frac{2}{5} : x = 2$

Чтобы найти неизвестный делитель $x$, нужно делимое разделить на частное.

$x = 8\frac{2}{5} : 2$

Преобразуем $8\frac{2}{5}$ в неправильную дробь: $8\frac{2}{5} = \frac{8 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{42}{5}$.

$x = \frac{42}{5} : 2 = \frac{42}{5 \cdot 2} = \frac{42}{10}$

Сократим дробь и преобразуем в смешанное число:

$x = \frac{21}{5} = 4\frac{1}{5}$

Ответ: $4\frac{1}{5}$.

4)

Исходное уравнение: $(5\frac{1}{6} - x) \cdot 2\frac{7}{10} - 1\frac{3}{14} = 3\frac{2}{7}$.

Сначала найдем значение уменьшаемого $(5\frac{1}{6} - x) \cdot 2\frac{7}{10}$.

$(5\frac{1}{6} - x) \cdot 2\frac{7}{10} = 3\frac{2}{7} + 1\frac{3}{14}$

Вычислим сумму в правой части. Приведем дроби к общему знаменателю 14.

$3\frac{2}{7} = 3\frac{4}{14}$

$3\frac{4}{14} + 1\frac{3}{14} = (3+1) + (\frac{4}{14} + \frac{3}{14}) = 4 + \frac{7}{14} = 4\frac{1}{2}$

Уравнение принимает вид:

$(5\frac{1}{6} - x) \cdot 2\frac{7}{10} = 4\frac{1}{2}$

Теперь найдем неизвестный множитель $(5\frac{1}{6} - x)$.

$5\frac{1}{6} - x = 4\frac{1}{2} : 2\frac{7}{10}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби и выполним деление:

$4\frac{1}{2} = \frac{9}{2}$; $2\frac{7}{10} = \frac{27}{10}$

$\frac{9}{2} : \frac{27}{10} = \frac{9}{2} \cdot \frac{10}{27} = \frac{9 \cdot 10}{2 \cdot 27} = \frac{1 \cdot 5}{1 \cdot 3} = \frac{5}{3}$

Получаем уравнение:

$5\frac{1}{6} - x = \frac{5}{3}$

Чтобы найти неизвестное вычитаемое $x$, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

$x = 5\frac{1}{6} - \frac{5}{3}$

Приведем дроби к общему знаменателю 6.

$\frac{5}{3} = \frac{10}{6}$

$x = 5\frac{1}{6} - \frac{10}{6} = \frac{31}{6} - \frac{10}{6} = \frac{21}{6}$

Сократим дробь, разделив на 3, и преобразуем в смешанное число:

$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$

Ответ: $3\frac{1}{2}$.