Номер 424, страница 86, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

424 Найди значение выражения:

1) $2\frac{1}{4} + 8\frac{3}{4} : 6\frac{2}{3};$

2) $\left(1\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \left(1\frac{1}{2}\right)^3 : 2\frac{2}{5};$

3) $\left(1\frac{1}{2} - \frac{3}{4}\right) \cdot \left(5 - 1\frac{2}{3}\right) : 3\frac{1}{8}.$

425

1) $2\frac{1}{4} + 8\frac{3}{4} : 6\frac{2}{3}$
Согласно порядку действий, сначала выполняем деление, а затем сложение.
1. Выполним деление. Для этого преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$8\frac{3}{4} = \frac{8 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{35}{4}$
$6\frac{2}{3} = \frac{6 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{20}{3}$
Теперь разделим дроби. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$8\frac{3}{4} : 6\frac{2}{3} = \frac{35}{4} : \frac{20}{3} = \frac{35}{4} \cdot \frac{3}{20} = \frac{35 \cdot 3}{4 \cdot 20} = \frac{7 \cdot 5 \cdot 3}{4 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{7 \cdot 3}{4 \cdot 4} = \frac{21}{16}$
2. Теперь выполним сложение:
$2\frac{1}{4} + \frac{21}{16}$
Преобразуем $2\frac{1}{4}$ в неправильную дробь:
$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$
Приведем дроби к общему знаменателю 16:
$\frac{9}{4} = \frac{9 \cdot 4}{4 \cdot 4} = \frac{36}{16}$
Сложим дроби:
$\frac{36}{16} + \frac{21}{16} = \frac{36+21}{16} = \frac{57}{16}$
Преобразуем результат в смешанное число:
$\frac{57}{16} = 3\frac{9}{16}$
Ответ: $3\frac{9}{16}$.

2) $(1\frac{1}{3})^2 \cdot (1\frac{1}{2})^3 : 2\frac{2}{5}$
Сначала выполним возведение в степень, затем умножение и деление по порядку слева направо.
1. Преобразуем все смешанные числа в неправильные дроби:
$1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$
$1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
$2\frac{2}{5} = \frac{12}{5}$
Выражение примет вид: $(\frac{4}{3})^2 \cdot (\frac{3}{2})^3 : \frac{12}{5}$
2. Возведем дроби в степень:
$(\frac{4}{3})^2 = \frac{4^2}{3^2} = \frac{16}{9}$
$(\frac{3}{2})^3 = \frac{3^3}{2^3} = \frac{27}{8}$
Выражение теперь выглядит так: $\frac{16}{9} \cdot \frac{27}{8} : \frac{12}{5}$
3. Выполним умножение, сократив дроби:
$\frac{16}{9} \cdot \frac{27}{8} = \frac{16 \cdot 27}{9 \cdot 8} = \frac{2 \cdot 8 \cdot 3 \cdot 9}{9 \cdot 8} = 2 \cdot 3 = 6$
4. Выполним деление:
$6 : \frac{12}{5} = 6 \cdot \frac{5}{12} = \frac{6 \cdot 5}{12} = \frac{30}{12}$
Сократим дробь:
$\frac{30}{12} = \frac{5 \cdot 6}{2 \cdot 6} = \frac{5}{2}$
Преобразуем в смешанное число:
$\frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$
Ответ: $2\frac{1}{2}$.

3) $(1\frac{1}{2} - \frac{3}{4}) \cdot (5 - 1\frac{2}{3}) : 3\frac{1}{8}$
Сначала выполняем действия в скобках, затем умножение и деление слева направо.
1. Вычислим значение в первой скобке:
$1\frac{1}{2} - \frac{3}{4} = \frac{3}{2} - \frac{3}{4}$
Приведем к общему знаменателю 4:
$\frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{3}{4} = \frac{6}{4} - \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$
2. Вычислим значение во второй скобке:
$5 - 1\frac{2}{3} = 5 - \frac{5}{3}$
Представим 5 как дробь со знаменателем 3:
$\frac{15}{3} - \frac{5}{3} = \frac{10}{3}$
3. Теперь выражение имеет вид: $\frac{3}{4} \cdot \frac{10}{3} : 3\frac{1}{8}$
Преобразуем $3\frac{1}{8}$ в неправильную дробь:
$3\frac{1}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{25}{8}$
4. Выполним умножение:
$\frac{3}{4} \cdot \frac{10}{3} = \frac{3 \cdot 10}{4 \cdot 3} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$
5. Выполним деление:
$\frac{5}{2} : \frac{25}{8} = \frac{5}{2} \cdot \frac{8}{25} = \frac{5 \cdot 8}{2 \cdot 25} = \frac{40}{50} = \frac{4}{5}$
Ответ: $\frac{4}{5}$.