Номер 417, страница 86, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

417 Известно, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Придумай способ вычисления суммы углов четырёхугольника, пятиугольника, шестиугольника, ..., $n$-угольника. (Суммы удобно обозначать соответственно $S_4$, $S_5$, $S_6$, ..., $S_n$.)

Для вычисления суммы углов выпуклого многоугольника можно воспользоваться методом его разбиения на треугольники. Известно, что сумма углов одного треугольника равна $180^\circ$. Если в любом $n$-угольнике выбрать одну вершину и соединить её диагоналями со всеми остальными вершинами, с которыми она не смежна, то многоугольник разделится на несколько треугольников. Сумма углов многоугольника будет равна сумме углов всех получившихся треугольников.

Четырёхугольник
Возьмём выпуклый четырёхугольник ($n=4$). Проведя одну диагональ из любой вершины, мы разделим его на 2 треугольника. Сумма углов четырёхугольника $S_4$ равна сумме углов этих двух треугольников.
$S_4 = 2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$
Ответ: $360^\circ$.

Пятиугольник
Возьмём выпуклый пятиугольник ($n=5$). Проведя диагонали из одной вершины, мы разделим его на 3 треугольника. Сумма углов пятиугольника $S_5$ равна сумме углов этих трёх треугольников.
$S_5 = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ$
Ответ: $540^\circ$.

Шестиугольник
Возьмём выпуклый шестиугольник ($n=6$). Проведя диагонали из одной вершины, мы разделим его на 4 треугольника. Сумма углов шестиугольника $S_6$ равна сумме углов этих четырёх треугольников.
$S_6 = 4 \cdot 180^\circ = 720^\circ$
Ответ: $720^\circ$.

n-угольник
Заметим закономерность: количество треугольников, на которые можно разделить $n$-угольник, проведя диагонали из одной вершины, всегда на 2 меньше, чем количество его сторон (или углов). То есть, выпуклый $n$-угольник можно разделить на $(n-2)$ треугольника.
Следовательно, общая формула для суммы углов $S_n$ произвольного выпуклого $n$-угольника имеет вид:
$S_n = (n-2) \cdot 180^\circ$, где $n$ — количество сторон многоугольника.
Ответ: $S_n = (n-2) \cdot 180^\circ$.