Номер 415, страница 85, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

415 1) Прочитай определение и назови определяемое понятие:

Многоугольник, у которого все стороны и все углы равны, называется правильным.

2) Найди на рисунке правильные многоугольники.

a

b

c

d

e

f

k

m

n

3) Исходя из того, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$, вычисли величину угла правильного четырёхугольника, пятиугольника, шестиугольника. Построй формулу зависимости величины угла правильного многоугольника от числа его сторон $n$.

1)

В предложении "Многоугольник, у которого все стороны и все углы равны, называется правильным." дается определение понятию правильный многоугольник.
Ответ: правильный многоугольник.

2)

Согласно определению, правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все стороны и все углы равны. Проанализируем фигуры, изображенные на рисунке:
- Фигура a: пятиугольник, у которого очевидно не все стороны и углы равны. Не является правильным.
- Фигура b: трапеция, у которой стороны и углы не равны. Не является правильной.
- Фигура c: прямоугольник. У него все углы прямые ($90^\circ$), но стороны попарно равны, а не все между собой. Не является правильным (если это не квадрат).
- Фигура d: шестиугольник, у которого все стороны и все углы на вид равны. Это правильный шестиугольник.
- Фигура e: четырёхугольник, который является квадратом. У квадрата все стороны равны и все углы равны $90^\circ$. Это правильный четырёхугольник.
- Фигура f: ромб. У него все стороны равны, но углы попарно равны (два острых и два тупых). Не является правильным.
- Фигура k: треугольник, у которого все стороны и все углы на вид равны. Это равносторонний (правильный) треугольник.
- Фигура m: пятиугольник, у которого все стороны и все углы на вид равны. Это правильный пятиугольник.
- Фигура n: треугольник, у которого стороны и углы очевидно не равны. Не является правильным.
Таким образом, к правильным многоугольникам относятся фигуры d, e, k, m.
Ответ: d, e, k, m.

3)

Сумма углов любого выпуклого n-угольника вычисляется по формуле $S_n = (n-2) \cdot 180^\circ$. Это связано с тем, что любой n-угольник можно разделить на $n-2$ треугольника, проведя все возможные диагонали из одной вершины. Так как сумма углов одного треугольника равна $180^\circ$, то сумма углов n-угольника будет в $n-2$ раз больше.
У правильного многоугольника все $n$ углов равны. Следовательно, чтобы найти величину одного угла $\alpha_n$, нужно сумму всех углов $S_n$ разделить на их количество $n$.

Вычислим величину угла для заданных правильных многоугольников:
- Для правильного четырёхугольника (квадрата, n=4):
Сумма углов: $S_4 = (4-2) \cdot 180^\circ = 2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$.
Величина одного угла: $\alpha_4 = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$.
- Для правильного пятиугольника (n=5):
Сумма углов: $S_5 = (5-2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ$.
Величина одного угла: $\alpha_5 = \frac{540^\circ}{5} = 108^\circ$.
- Для правильного шестиугольника (n=6):
Сумма углов: $S_6 = (6-2) \cdot 180^\circ = 4 \cdot 180^\circ = 720^\circ$.
Величина одного угла: $\alpha_6 = \frac{720^\circ}{6} = 120^\circ$.

Общая формула зависимости величины угла $\alpha_n$ правильного многоугольника от числа его сторон $n$ выглядит следующим образом:
$\alpha_n = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$
Ответ: угол правильного четырёхугольника — $90^\circ$; угол правильного пятиугольника — $108^\circ$; угол правильного шестиугольника — $120^\circ$. Формула зависимости: $\alpha_n = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$.