Номер 416, страница 85, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

416 Математическое исследование

1) Проведи окружность с центром в точке $O$ и радиусом 4 см. Построй центральный угол $AOB$, равный $60^\circ$. Измерь длину хорды $AB$. Повтори эксперимент ещё два раза. Что ты замечаешь? Сделай вывод.

2) Исходя из полученного вывода, придумай, как построить правильный шестиугольник, пользуясь только циркулем и линейкой без делений.

3) Раздели окружность с помощью циркуля на 6 равных частей. Соедини отрезками три из отмеченных точек так, чтобы образовался правильный треугольник. Измерь углы между радиусами, соединяющими центр окружности с вершинами треугольника. Сделай вывод.

4) Как, пользуясь циркулем, линейкой и транспортиром, построить правильные четырёхугольник и пятиугольник? Выполни построения.

Объясни, почему выводы, полученные в этом исследовании, являются пока лишь гипотезами. Попробуй придумать доказательство своих гипотез для общего случая.

1) Проведи окружность с центром в точке О и радиусом 4 см. Построй центральный угол АОВ, равный 60°. Измерь длину хорды АВ. Повтори эксперимент ещё два раза. Что ты замечаешь? Сделай вывод.

1. С помощью циркуля строим окружность с центром в точке O и радиусом $R = 4$ см.

2. Проводим радиус OA. С помощью транспортира откладываем от радиуса OA угол $\angle AOB = 60^{\circ}$. Точка B должна лежать на окружности.

3. Соединяем точки A и B отрезком. Этот отрезок является хордой AB.

4. Измеряем длину хорды AB с помощью линейки. Измерение показывает, что длина хорды AB равна 4 см.

При повторении эксперимента результат не меняется: длина хорды снова получается равной 4 см.

Что ты замечаешь? Я замечаю, что длина хорды, на которую опирается центральный угол в $60^{\circ}$, равна радиусу окружности.

Сделай вывод. Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Две его стороны, OA и OB, являются радиусами окружности, поэтому $OA = OB = 4$ см. Следовательно, $\triangle AOB$ — равнобедренный. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: $\angle OAB = \angle OBA$. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$, поэтому $\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^{\circ}$. Так как $\angle AOB = 60^{\circ}$, то $2 \cdot \angle OAB + 60^{\circ} = 180^{\circ}$, откуда $2 \cdot \angle OAB = 120^{\circ}$ и $\angle OAB = 60^{\circ}$. Таким образом, все углы треугольника $\triangle AOB$ равны $60^{\circ}$, и он является равносторонним. В равностороннем треугольнике все стороны равны, значит, $AB = OA = OB = 4$ см.

Вывод: хорда, стягивающая центральный угол в $60^{\circ}$, равна радиусу окружности.

Ответ: Длина хорды AB равна 4 см. Вывод: если центральный угол, опирающийся на хорду, равен $60^{\circ}$, то длина этой хорды равна радиусу окружности.

2) Исходя из полученного вывода, придумай, как построить правильный шестиугольник, пользуясь только циркулем и линейкой без делений.

Правильный шестиугольник, вписанный в окружность, делит ее на 6 равных дуг. Центральный угол, соответствующий каждой стороне, равен $360^{\circ} / 6 = 60^{\circ}$. Из вывода в пункте 1 следует, что сторона такого шестиугольника равна радиусу описанной окружности.

Алгоритм построения:

1. Провести произвольную окружность с центром в точке O. Обозначим ее радиус как $R$.

2. Выбрать на окружности произвольную точку A.

3. Установить раствор циркуля равным радиусу $R$.

4. Установить ножку циркуля в точку A и сделать на окружности засечку, получив точку B.

5. Переставить ножку циркуля в точку B и, не меняя раствора, сделать следующую засечку, получив точку C.

6. Повторять эту операцию, пока не будут получены 6 точек на окружности (A, B, C, D, E, F). Шестая засечка должна совпасть с начальной точкой A.

7. Соединить с помощью линейки полученные точки A, B, C, D, E, F. Полученный многоугольник ABCDEF будет правильным шестиугольником.

Ответ: Нужно на окружности, начиная с произвольной точки, последовательно отложить циркулем 6 хорд, равных радиусу этой окружности. Затем соединить полученные точки отрезками.

3) Раздели окружность с помощью циркуля на 6 равных частей. Соедини отрезками три из отмеченных точек так, чтобы образовался правильный треугольник. Измерь углы между радиусами, соединяющими центр окружности с вершинами треугольника. Сделай вывод.

1. Делим окружность на 6 равных частей, как описано в пункте 2. Получаем на окружности точки A, B, C, D, E, F.

2. Чтобы получить правильный треугольник, нужно соединить три точки через одну, например, A, C и E. Соединяем их отрезками.

3. Проводим радиусы OA, OC, OE и измеряем углы между ними.

Каждая из 6 дуг (AB, BC, и т.д.) равна $360^{\circ} / 6 = 60^{\circ}$.

Дуга AC состоит из двух таких дуг: AB и BC. Ее величина равна $60^{\circ} + 60^{\circ} = 120^{\circ}$. Центральный угол $\angle AOC$ равен величине дуги, на которую он опирается, значит $\angle AOC = 120^{\circ}$.

Аналогично, $\angle COE = 120^{\circ}$ и $\angle EOA = 120^{\circ}$. Измерения транспортиром подтверждают эти расчеты.

Сделай вывод. Вершины правильного треугольника, вписанного в окружность, делят ее на 3 равные дуги. Центральные углы, опирающиеся на стороны такого треугольника, равны $360^{\circ} / 3 = 120^{\circ}$.

Ответ: Чтобы получить правильный треугольник, нужно соединить вершины шестиугольника через одну. Углы между радиусами, проведенными к вершинам треугольника, равны $120^{\circ}$. Вывод: стороны вписанного правильного треугольника стягивают центральные углы по $120^{\circ}$.

4) Как, пользуясь циркулем, линейкой и транспортиром, построить правильные четырёхугольник и пятиугольник? Выполни построения.

Общий принцип построения правильного n-угольника с помощью транспортира — разделить полный угол в $360^{\circ}$ на $n$ равных частей, откладывая полученные центральные углы от центра окружности.

Построение правильного четырёхугольника (квадрата):

1. Центральный угол равен $360^{\circ} / 4 = 90^{\circ}$.

2. Проводим окружность с центром O и произвольный радиус OA.

3. С помощью транспортира откладываем от OA углы $\angle AOB = 90^{\circ}$, $\angle BOC = 90^{\circ}$, $\angle COD = 90^{\circ}$.

4. Соединяем последовательно точки A, B, C, D. Полученный четырехугольник ABCD — квадрат.

Построение правильного пятиугольника:

1. Центральный угол равен $360^{\circ} / 5 = 72^{\circ}$.

2. Проводим окружность с центром O и произвольный радиус OA.

3. С помощью транспортира последовательно откладываем углы по $72^{\circ}$: $\angle AOB = 72^{\circ}$, $\angle BOC = 72^{\circ}$, $\angle COD = 72^{\circ}$, $\angle DOE = 72^{\circ}$.

4. Соединяем последовательно точки A, B, C, D, E. Полученный пятиугольник ABCDE — правильный.

Ответ: Для построения правильного n-угольника нужно разделить окружность на $n$ равных дуг. Для этого с помощью транспортира от центра окружности последовательно откладываются центральные углы, равные $360^{\circ}/n$. Для четырехугольника этот угол равен $90^{\circ}$, для пятиугольника — $72^{\circ}$. Вершины, полученные на окружности, соединяются отрезками.

Объясни, почему выводы, полученные в этом исследовании, являются пока лишь гипотезами. Попробуй придумать доказательство своих гипотез для общего случая.

Выводы, сделанные на основе измерений, являются гипотезами, потому что измерения всегда содержат погрешность и проводятся для конкретных частных случаев (например, окружность с радиусом 4 см). Математическое утверждение считается доказанным (становится теоремой), когда оно выведено логически из аксиом и ранее доказанных теорем для общего случая (для окружности любого радиуса), а не проверено на нескольких примерах. Эксперимент лишь помогает выдвинуть гипотезу.

Доказательства гипотез для общего случая:

1. Гипотеза о стороне шестиугольника. В окружности произвольного радиуса $R$ хорда, стягивающая центральный угол в $60^{\circ}$, равна радиусу.

Доказательство: Пусть в окружности с центром O и радиусом $R$ проведена хорда AB, и центральный угол $\angle AOB = 60^{\circ}$. Рассмотрим $\triangle AOB$. Так как OA и OB — радиусы, то $OA = OB = R$. Значит, $\triangle AOB$ — равнобедренный. Углы при его основании равны: $\angle OAB = \angle OBA = (180^{\circ} - 60^{\circ})/2 = 60^{\circ}$. Поскольку все три угла треугольника равны $60^{\circ}$, он является равносторонним. Следовательно, $AB = R$. Что и требовалось доказать.

2. Гипотеза о построении правильного треугольника. Соединение вершин правильного вписанного шестиугольника через одну образует правильный треугольник.

Доказательство: Пусть $A_1, A_2, \dots, A_6$ — вершины правильного шестиугольника, вписанного в окружность. Это значит, что дуги между соседними вершинами равны $360^{\circ}/6 = 60^{\circ}$. Рассмотрим треугольник $\triangle A_1A_3A_5$. Сторона $A_1A_3$ стягивает дугу $\cup A_1A_2A_3$, равную $60^{\circ} + 60^{\circ} = 120^{\circ}$. Аналогично, стороны $A_3A_5$ и $A_5A_1$ стягивают дуги по $120^{\circ}$. Так как равные дуги стягиваются равными хордами, то $A_1A_3 = A_3A_5 = A_5A_1$. Следовательно, $\triangle A_1A_3A_5$ — равносторонний, то есть правильный. Что и требовалось доказать.

3. Гипотеза о построении правильного n-угольника. Для построения правильного вписанного n-угольника его вершины должны делить окружность на $n$ равных дуг величиной $360^{\circ}/n$.

Доказательство: По определению, у правильного вписанного n-угольника все стороны равны. Равные хорды стягивают равные дуги. Так как все $n$ сторон равны, то они стягивают $n$ равных дуг. Полная окружность составляет $360^{\circ}$, поэтому каждая из этих дуг равна $360^{\circ}/n$. Центральный угол, опирающийся на одну из этих дуг, также равен $360^{\circ}/n$. Таким образом, метод построения, основанный на последовательном откладывании центральных углов величиной $360^{\circ}/n$, является верным, так как он напрямую следует из определения правильного вписанного многоугольника.

Ответ: Выводы являются гипотезами, так как они основаны на неточных измерениях и частных случаях. Для превращения их в теоремы нужны строгие логические доказательства для общего случая, которые и были приведены выше.