Номер 422, страница 86, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

422 Выполни деление, если значения всех переменных – натуральные числа:

а) $\frac{p}{q} : \frac{p}{s}$

б) $\frac{a}{b} : \frac{2a}{b^2}$

в) $\frac{c}{d} : 5$

г) $6 : \frac{3x}{y}$

д) $1 : \frac{m}{k}$

а) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. Делитель — это дробь $\frac{p}{s}$, обратная ей дробь — $\frac{s}{p}$.

$\frac{p}{q} : \frac{p}{s} = \frac{p}{q} \cdot \frac{s}{p} = \frac{p \cdot s}{q \cdot p}$

Поскольку по условию $p$ — натуральное число, то $p \neq 0$. Мы можем сократить дробь на $p$.

$\frac{p \cdot s}{q \cdot p} = \frac{s}{q}$

Ответ: $\frac{s}{q}$

б) Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь. Обратная дробь к $\frac{2a}{b^2}$ это $\frac{b^2}{2a}$.

$\frac{a}{b} : \frac{2a}{b^2} = \frac{a}{b} \cdot \frac{b^2}{2a} = \frac{a \cdot b^2}{b \cdot 2a}$

Переменные $a$ и $b$ являются натуральными числами, поэтому $a \neq 0$ и $b \neq 0$. Сократим общие множители $a$ и $b$. Учтем, что $b^2 = b \cdot b$.

$\frac{a \cdot b \cdot b}{2 \cdot a \cdot b} = \frac{b}{2}$

Ответ: $\frac{b}{2}$

в) Представим число 5 в виде дроби $\frac{5}{1}$. Деление на число — это деление на дробь с этим числом в числителе и единицей в знаменателе.

$\frac{c}{d} : 5 = \frac{c}{d} : \frac{5}{1} = \frac{c}{d} \cdot \frac{1}{5}$

Умножим числители и знаменатели.

$\frac{c \cdot 1}{d \cdot 5} = \frac{c}{5d}$

Ответ: $\frac{c}{5d}$

г) Представим число 6 в виде дроби $\frac{6}{1}$ и выполним деление, умножив на обратную дробь.

$6 : \frac{3x}{y} = \frac{6}{1} : \frac{3x}{y} = \frac{6}{1} \cdot \frac{y}{3x} = \frac{6 \cdot y}{1 \cdot 3x} = \frac{6y}{3x}$

Сократим числитель и знаменатель на их общий делитель 3.

$\frac{6y}{3x} = \frac{2 \cdot 3 \cdot y}{3 \cdot x} = \frac{2y}{x}$

Ответ: $\frac{2y}{x}$

д) Деление единицы на дробь дает в результате обратную дробь.

$1 : \frac{m}{k} = 1 \cdot \frac{k}{m} = \frac{k}{m}$

Ответ: $\frac{k}{m}$