Номер 426, страница 87, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

426 Из Москвы по Рижскому шоссе выехал автобус со скоростью 54 км/ч. Через $2\frac{1}{3}$ ч вслед за ним выехал автомобиль со скоростью в $1\frac{4}{9}$ раза больше скорости автобуса.

На каком расстоянии от автобуса будет автомобиль через 1 ч 45 мин после своего выезда?

Через сколько времени после своего выезда он догонит автобус?

С какой скоростью надо ехать автомобилю, чтобы догнать автобус через $3\frac{1}{2}$ ч?

Для решения задачи сначала определим все начальные условия. Скорость автобуса $V_{авт} = 54$ км/ч. Автомобиль выехал позже на $t_{фора} = 2\frac{1}{3}$ ч.

1. Найдем скорость автомобиля ($V_{авто}$), которая в $1\frac{4}{9}$ раза больше скорости автобуса:

$V_{авто} = V_{авт} \times 1\frac{4}{9} = 54 \times \frac{13}{9} = \frac{54 \times 13}{9} = 6 \times 13 = 78$ км/ч.

2. Найдем, какое расстояние проехал автобус за время своей форы, то есть до выезда автомобиля. Это будет начальное расстояние между ними ($S_0$).

$S_0 = V_{авт} \times t_{фора} = 54 \times 2\frac{1}{3} = 54 \times \frac{7}{3} = \frac{54 \times 7}{3} = 18 \times 7 = 126$ км.

3. Найдем скорость сближения автомобиля и автобуса. Так как автомобиль едет быстрее, он догоняет автобус.

$V_{сбл} = V_{авто} - V_{авт} = 78 - 54 = 24$ км/ч.

На каком расстоянии от автобуса будет автомобиль через 1 ч 45 мин после своего выезда?

Сначала переведем время движения автомобиля в часы: $t_1 = 1$ ч 45 мин $= 1 + \frac{45}{60}$ ч $= 1 + \frac{3}{4}$ ч $= 1.75$ ч.

За это время автомобиль сократит расстояние между ним и автобусом на:

$S_{сокращ} = V_{сбл} \times t_1 = 24 \times 1.75 = 42$ км.

Изначальное расстояние между ними было 126 км. Чтобы найти новое расстояние, вычтем из начального расстояния то, на которое они сблизились:

$S_1 = S_0 - S_{сокращ} = 126 - 42 = 84$ км.

Ответ: 84 км.

Через сколько времени после своего выезда он догонит автобус?

Автомобиль догонит автобус, когда полностью сократит начальное расстояние между ними ($S_0 = 126$ км). Время, необходимое для этого, найдем, разделив начальное расстояние на скорость сближения:

$t_{погоня} = \frac{S_0}{V_{сбл}} = \frac{126}{24} = \frac{21}{4} = 5.25$ ч.

Переведем 0.25 часа в минуты: $0.25 \times 60 = 15$ мин.

Таким образом, автомобиль догонит автобус через 5 часов 15 минут.

Ответ: через 5 ч 15 мин.

С какой скоростью надо ехать автомобилю, чтобы догнать автобус через $3\frac{1}{2}$ ч?

Начальное расстояние между автомобилем и автобусом остается прежним: $S_0 = 126$ км. Время, за которое нужно догнать автобус, $t_2 = 3\frac{1}{2} = 3.5$ ч. Скорость автобуса $V_{авт} = 54$ км/ч. Обозначим искомую скорость автомобиля как $V_{авто2}$.

Чтобы догнать автобус, необходима определенная скорость сближения $V_{сбл2}$, которую можно найти по формуле:

$V_{сбл2} = \frac{S_0}{t_2} = \frac{126}{3.5} = \frac{1260}{35} = 36$ км/ч.

Скорость сближения также равна разности скоростей автомобиля и автобуса: $V_{сбл2} = V_{авто2} - V_{авт}$.

Отсюда найдем требуемую скорость автомобиля:

$V_{авто2} = V_{сбл2} + V_{авт} = 36 + 54 = 90$ км/ч.

Ответ: 90 км/ч.