Номер 433, страница 88, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

433 Упрости выражение и найди его значение:

1) $5\frac{3}{17}a + 3\frac{2}{34}a + a + \frac{35}{68}a$, если $a = 1, \frac{1}{3}, 2\frac{6}{13}$.

2) $3\frac{1}{8}b + \frac{2}{3}b + 2\frac{25}{44} + b + 4\frac{5}{24}b + \frac{2}{11}$, если $b = 0, \frac{7}{12}, \frac{3}{4}$.

1) Сначала упростим выражение. Для этого сгруппируем все слагаемые с переменной $a$ и сложим их коэффициенты.

$5\frac{3}{17}a + 3\frac{2}{34}a + a + \frac{35}{68}a = (5\frac{3}{17} + 3\frac{2}{34} + 1 + \frac{35}{68})a$

Упростим коэффициент $3\frac{2}{34}$, сократив дробную часть: $3\frac{2}{34} = 3\frac{1}{17}$.

Теперь сложим коэффициенты:

$5\frac{3}{17} + 3\frac{1}{17} + 1 + \frac{35}{68}$

Сложим целые числа и смешанные дроби с одинаковым знаменателем:

$(5+3+1) + (\frac{3}{17} + \frac{1}{17}) + \frac{35}{68} = 9 + \frac{4}{17} + \frac{35}{68} = 9\frac{4}{17} + \frac{35}{68}$

Приведем дроби к общему знаменателю 68 ($17 \cdot 4 = 68$):

$9\frac{4}{17} = 9\frac{4 \cdot 4}{17 \cdot 4} = 9\frac{16}{68}$

Теперь сложим дроби:

$9\frac{16}{68} + \frac{35}{68} = 9 + \frac{16+35}{68} = 9 + \frac{51}{68}$

Сократим дробь $\frac{51}{68}$, разделив числитель и знаменатель на 17:

$\frac{51}{68} = \frac{3 \cdot 17}{4 \cdot 17} = \frac{3}{4}$

Таким образом, сумма коэффициентов равна $9\frac{3}{4}$. Упрощенное выражение: $9\frac{3}{4}a$.

Теперь найдем значения выражения для данных значений $a$.

Если $a = 1$, то $9\frac{3}{4} \cdot 1 = 9\frac{3}{4}$.

Если $a = \frac{1}{3}$, то $9\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{39}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{39}{4 \cdot 3} = \frac{13}{4} = 3\frac{1}{4}$.

Если $a = 2\frac{6}{13}$, то $9\frac{3}{4} \cdot 2\frac{6}{13} = \frac{39}{4} \cdot \frac{2 \cdot 13 + 6}{13} = \frac{39}{4} \cdot \frac{32}{13} = \frac{39 \cdot 32}{4 \cdot 13} = \frac{3 \cdot 13 \cdot 8 \cdot 4}{4 \cdot 13} = 3 \cdot 8 = 24$.

Ответ: при $a = 1$ значение равно $9\frac{3}{4}$; при $a = \frac{1}{3}$ значение равно $3\frac{1}{4}$; при $a = 2\frac{6}{13}$ значение равно $24$.

2) Сначала упростим выражение. Для этого сгруппируем отдельно слагаемые с переменной $b$ и свободные члены (числа).

$(3\frac{1}{8}b + \frac{2}{3}b + b + 4\frac{5}{24}b) + (2\frac{25}{44} + \frac{2}{11})$

Упростим первую группу, вынеся $b$ за скобки:

$(3\frac{1}{8} + \frac{2}{3} + 1 + 4\frac{5}{24})b$

Сложим коэффициенты при $b$. Сначала целые части: $3+1+4=8$. Затем дробные части: $\frac{1}{8} + \frac{2}{3} + \frac{5}{24}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 24:

$\frac{1 \cdot 3}{8 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8} + \frac{5}{24} = \frac{3}{24} + \frac{16}{24} + \frac{5}{24} = \frac{3+16+5}{24} = \frac{24}{24} = 1$.

Сумма коэффициентов при $b$ равна $8+1=9$. Таким образом, первая часть выражения равна $9b$.

Теперь упростим вторую группу (свободные члены):

$2\frac{25}{44} + \frac{2}{11}$

Приведем дробь $\frac{2}{11}$ к знаменателю 44: $\frac{2 \cdot 4}{11 \cdot 4} = \frac{8}{44}$.

$2\frac{25}{44} + \frac{8}{44} = 2 + \frac{25+8}{44} = 2 + \frac{33}{44}$

Сократим дробь $\frac{33}{44}$ на 11: $\frac{33}{44} = \frac{3}{4}$.

Таким образом, вторая часть выражения равна $2\frac{3}{4}$.

Упрощенное выражение: $9b + 2\frac{3}{4}$.

Теперь найдем значения выражения для данных значений $b$.

Если $b = 0$, то $9 \cdot 0 + 2\frac{3}{4} = 0 + 2\frac{3}{4} = 2\frac{3}{4}$.

Если $b = \frac{7}{12}$, то $9 \cdot \frac{7}{12} + 2\frac{3}{4} = \frac{9 \cdot 7}{12} + 2\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 7}{4} + 2\frac{3}{4} = \frac{21}{4} + \frac{11}{4} = \frac{32}{4} = 8$.

Если $b = \frac{3}{4}$, то $9 \cdot \frac{3}{4} + 2\frac{3}{4} = \frac{27}{4} + \frac{11}{4} = \frac{38}{4} = \frac{19}{2} = 9\frac{1}{2}$.

Ответ: при $b = 0$ значение равно $2\frac{3}{4}$; при $b = \frac{7}{12}$ значение равно $8$; при $b = \frac{3}{4}$ значение равно $9\frac{1}{2}$.