Номер 436, страница 88, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

436 Найди закономерность и запиши следующие два числа в ряду:

а) $ \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{4}{5}, \frac{7}{8}, \frac{11}{12}, ... $

б) $ 1\frac{1}{2}, 2\frac{1}{4}, 3\frac{1}{8}, 4\frac{1}{16}, ... $

a) Рассмотрим последовательность дробей: $ \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{4}{5}, \frac{7}{8}, \frac{11}{12}, ... $

Для нахождения закономерности проанализируем отдельно последовательности числителей и знаменателей.

Последовательность числителей: 1, 2, 4, 7, 11, ...
Найдем разность между соседними членами:

$ 2 - 1 = 1 $; $ 4 - 2 = 2 $; $ 7 - 4 = 3 $; $ 11 - 7 = 4 $.
Разность каждый раз увеличивается на 1. Следовательно, чтобы найти следующий числитель, нужно к 11 прибавить 5, а затем к результату прибавить 6.
Следующий числитель: $ 11 + 5 = 16 $.
Следующий за ним числитель: $ 16 + 6 = 22 $.

Последовательность знаменателей: 2, 3, 5, 8, 12, ...
Здесь наблюдается та же закономерность. Найдем разность между соседними членами:
$ 3 - 2 = 1 $; $ 5 - 3 = 2 $; $ 8 - 5 = 3 $; $ 12 - 8 = 4 $.
Разность также каждый раз увеличивается на 1. Чтобы найти следующий знаменатель, нужно к 12 прибавить 5, а затем к результату прибавить 6.
Следующий знаменатель: $ 12 + 5 = 17 $.
Следующий за ним знаменатель: $ 17 + 6 = 23 $.

Таким образом, следующие два числа в ряду — это дроби, составленные из найденных числителей и знаменателей.

Ответ: $ \frac{16}{17}, \frac{22}{23} $

б) Рассмотрим последовательность смешанных чисел: $ 1\frac{1}{2}, 2\frac{1}{4}, 3\frac{1}{8}, 4\frac{1}{16}, ... $

Проанализируем отдельно последовательность целых частей и последовательность дробных частей.

Последовательность целых частей: 1, 2, 3, 4, ...
Это ряд натуральных чисел, где каждый следующий член на 1 больше предыдущего. Следующие два члена этой последовательности — 5 и 6.

Последовательность дробных частей: $ \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, ... $
Это геометрическая прогрессия. Числитель каждой дроби равен 1, а знаменатель является степенью числа 2: $ 2^1, 2^2, 2^3, 2^4, ... $
Каждый следующий знаменатель в 2 раза больше предыдущего.
Следующий знаменатель: $ 16 \cdot 2 = 32 $.
Следующий за ним знаменатель: $ 32 \cdot 2 = 64 $.
Таким образом, следующие две дроби в последовательности — это $ \frac{1}{32} $ и $ \frac{1}{64} $.

Объединяя найденные целые и дробные части, получаем следующие два числа в исходном ряду.

Ответ: $ 5\frac{1}{32}, 6\frac{1}{64} $