Номер 437, страница 88, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

437 Замени буквы цифрами так, чтобы получилось верное равенство (одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным — разные):

$ХОД + ХОД + ХОД + ХОД + ХОД = МАТ.$

Сколько решений этой задачи ты сможешь найти?

Для решения этого криптоарифметического ребуса, сперва упростим исходное равенство. Сумма пяти одинаковых слагаемых `ХОД` равна произведению:

$5 \times ХОД = МАТ$

Здесь `Х, О, Д, М, А, Т` — это шесть различных цифр. `ХОД` и `МАТ` — трехзначные числа, поэтому их первые цифры `Х` и `М` не могут быть равны нулю.

Логика решения:

1. Анализ старшего разряда (Х). Поскольку `МАТ` — трехзначное число, оно должно быть меньше 1000. Это значит, что `$5 \times ХОД < 1000$`, откуда `$ХОД < 200$`. Так как `Х` — это первая цифра трехзначного числа и `$Х \ne 0$`, то единственное возможное значение для `Х` — это `$Х=1$`.

2. Анализ младшего разряда (Т). Произведение любого целого числа на `5` оканчивается либо на `0`, либо на `5`. Значит, последняя цифра числа `МАТ`, то есть `Т`, может быть только `0` или `5`.

3. Системный перебор. Основываясь на том, что `$Х=1$`, а `Т` — `0` или `5`, мы можем систематически перебирать возможные значения для `Д` и `О`, каждый раз проверяя, что все шесть цифр (`Х, О, Д, М, А, Т`) получаются разными.

Замени буквы цифрами так, чтобы получилось верное равенство:

Ниже представлены все 18 возможных решений, удовлетворяющих условиям задачи. В каждом решении показано, какая цифра соответствует какой букве, и приведено итоговое равенство в виде умножения.

1. Х=1, О=2, Д=7, М=6, А=3, Т=5 $\implies 127 \times 5 = 635$
2. Х=1, О=2, Д=8, М=6, А=4, Т=0 $\implies 128 \times 5 = 640$
3. Х=1, О=2, Д=9, М=6, А=4, Т=5 $\implies 129 \times 5 = 645$
4. Х=1, О=3, Д=4, М=6, А=7, Т=0 $\implies 134 \times 5 = 670$
5. Х=1, О=3, Д=7, М=6, А=8, Т=5 $\implies 137 \times 5 = 685$
6. Х=1, О=3, Д=8, М=6, А=9, Т=0 $\implies 138 \times 5 = 690$
7. Х=1, О=4, Д=6, М=7, А=3, Т=0 $\implies 146 \times 5 = 730$
8. Х=1, О=5, Д=2, М=7, А=6, Т=0 $\implies 152 \times 5 = 760$
9. Х=1, О=5, Д=6, М=7, А=8, Т=0 $\implies 156 \times 5 = 780$
10. Х=1, О=5, Д=8, М=7, А=9, Т=0 $\implies 158 \times 5 = 790$
11. Х=1, О=6, Д=4, М=8, А=2, Т=0 $\implies 164 \times 5 = 820$
12. Х=1, О=6, Д=7, М=8, А=3, Т=5 $\implies 167 \times 5 = 835$
13. Х=1, О=6, Д=9, М=8, А=4, Т=5 $\implies 169 \times 5 = 845$
14. Х=1, О=7, Д=2, М=8, А=6, Т=0 $\implies 172 \times 5 = 860$
15. Х=1, О=7, Д=3, М=8, А=6, Т=5 $\implies 173 \times 5 = 865$
16. Х=1, О=8, Д=4, М=9, А=2, Т=0 $\implies 184 \times 5 = 920$
17. Х=1, О=8, Д=6, М=9, А=3, Т=0 $\implies 186 \times 5 = 930$
18. Х=1, О=8, Д=7, М=9, А=3, Т=5 $\implies 187 \times 5 = 935$

Ответ: Приведены 18 наборов цифр, которые удовлетворяют равенству. Например, подстановка Х=1, О=5, Д=2, М=7, А=6, Т=0 дает верное равенство $152+152+152+152+152 = 760$.

Сколько решений этой задачи ты сможешь найти?

Полный перебор всех логически допустимых вариантов, описанный выше, показывает, что у этой задачи существует ровно 18 различных решений.

Ответ: 18.