Номер 440, страница 89, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

440 Из пунктов $A$ и $B$ одновременно выехали велосипедист и мотоциклист. Через час оказалось, что велосипедист находится точно посередине между $A$ и мотоциклистом, а ещё через час они оказались на одинаковом расстоянии от пункта $A$. Во сколько раз скорость мотоциклиста больше, чем скорость велосипедиста?

Для решения задачи введем переменные и систему координат. Пусть $v_в$ — скорость велосипедиста, а $v_м$ — скорость мотоциклиста. Примем пункт А за начало отсчета (координата 0) на числовой оси, а пункт В — за точку с координатой $S$, где $S$ — расстояние между пунктами. Будем считать, что велосипедист и мотоциклист движутся навстречу друг другу: велосипедист из А в В, а мотоциклист из В в А. Тогда их координаты как функции времени $t$ можно записать следующим образом:

Координата велосипедиста: $x_в(t) = v_в \cdot t$

Координата мотоциклиста: $x_м(t) = S - v_м \cdot t$

Рассмотрим два условия, данных в задаче.

Через час оказалось, что велосипедист находится точно посередине между А и мотоциклистом.

Это условие относится к моменту времени $t=1$ час. В этот момент координаты участников движения равны:

$x_в(1) = v_в \cdot 1 = v_в$

$x_м(1) = S - v_м \cdot 1 = S - v_м$

Положение велосипедиста является серединой отрезка между пунктом А (координата 0) и мотоциклистом. Математически это означает, что координата велосипедиста равна среднему арифметическому координат пункта А и мотоциклиста:

$x_в(1) = \frac{0 + x_м(1)}{2}$

Подставим выражения для координат:

$v_в = \frac{S - v_м}{2}$

Отсюда получаем первое уравнение, связывающее переменные:

$2v_в = S - v_м$, или $S = 2v_в + v_м$ (1)

А ещё через час они оказались на одинаковом расстоянии от пункта А.

"Ещё через час" означает, что с момента старта прошло $1 + 1 = 2$ часа ($t=2$ часа). Найдем их координаты в этот момент:

$x_в(2) = v_в \cdot 2 = 2v_в$

$x_м(2) = S - v_м \cdot 2 = S - 2v_м$

Расстояние от пункта А (точки 0) равно модулю координаты. По условию, эти расстояния равны:

$|x_в(2)| = |x_м(2)|$

$|2v_в| = |S - 2v_м|$

Поскольку скорость $v_в$ является положительной величиной, $|2v_в| = 2v_в$. Таким образом, получаем второе уравнение:

$2v_в = |S - 2v_м|$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с тремя неизвестными ($v_в, v_м, S$). Наша цель — найти их соотношение. Подставим выражение для $S$ из уравнения (1) в уравнение (2):

$2v_в = |(2v_в + v_м) - 2v_м|$

$2v_в = |2v_в - v_м|$

Раскроем модуль. Уравнение распадается на два случая:

1) $2v_в = 2v_в - v_м$

Из этого следует, что $v_м = 0$. Этот случай невозможен, так как мотоциклист движется.

2) $2v_в = -(2v_в - v_м)$

Раскроем скобки: $2v_в = -2v_в + v_м$

Сгруппируем члены со скоростью велосипедиста в левой части:

$2v_в + 2v_в = v_м$

$4v_в = v_м$

Это соотношение показывает, что скорость мотоциклиста в 4 раза больше скорости велосипедиста. Чтобы найти, во сколько раз скорость мотоциклиста больше, найдем отношение их скоростей:

$\frac{v_м}{v_в} = 4$

Ответ: Скорость мотоциклиста больше скорости велосипедиста в 4 раза.