Номер 447, страница 93, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

447 Найди значение выражения, используя переход к натуральным числам:

а) $\frac{1 - \frac{4}{7}}{1 + \frac{4}{7}}$

б) $\frac{\frac{3}{4} + \frac{1}{8}}{\frac{3}{4} - \frac{1}{8}}$

в) $\frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}}{\frac{1}{3} - \frac{1}{6} - \frac{1}{12}}$

г) $\frac{\frac{2}{5} - \frac{3}{10} + \frac{11}{15}}{\frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{1}{6}}$

д) $\frac{\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{11}}{\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{9} \cdot \frac{2}{11}}$

е) $\frac{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} \cdot \frac{3}{20}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{13}{20}}$

ж) $\frac{1\frac{2}{5} \cdot 2\frac{1}{7}}{1\frac{3}{7} \cdot 2\frac{4}{5}}$

з) $\frac{2\frac{1}{2} \cdot 2\frac{1}{3} \cdot 2\frac{1}{4}}{1\frac{1}{2} \cdot 1\frac{2}{3} \cdot 1\frac{3}{4}}$

а) $\frac{1-\frac{4}{7}}{1+\frac{4}{7}}$

Чтобы избавиться от дробей в числителе и знаменателе, умножим их на общий знаменатель внутренних дробей, равный 7:

$\frac{(1-\frac{4}{7}) \cdot 7}{(1+\frac{4}{7}) \cdot 7} = \frac{1 \cdot 7 - \frac{4}{7} \cdot 7}{1 \cdot 7 + \frac{4}{7} \cdot 7} = \frac{7-4}{7+4} = \frac{3}{11}$.

Ответ: $\frac{3}{11}$.

б) $\frac{\frac{3}{4}+\frac{1}{8}}{\frac{3}{4}-\frac{1}{8}}$

Умножим числитель и знаменатель основной дроби на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 8, то есть на 8:

$\frac{(\frac{3}{4}+\frac{1}{8}) \cdot 8}{(\frac{3}{4}-\frac{1}{8}) \cdot 8} = \frac{\frac{3}{4} \cdot 8 + \frac{1}{8} \cdot 8}{\frac{3}{4} \cdot 8 - \frac{1}{8} \cdot 8} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{3 \cdot 2 - 1} = \frac{6+1}{6-1} = \frac{7}{5}$.

Ответ: $\frac{7}{5}$.

в) $\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}{\frac{1}{3}-\frac{1}{6}-\frac{1}{12}}$

Умножим числитель и знаменатель основной дроби на наименьшее общее кратное всех знаменателей (2, 3, 4, 6, 12), то есть на 12:

$\frac{(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}) \cdot 12}{(\frac{1}{3}-\frac{1}{6}-\frac{1}{12}) \cdot 12} = \frac{\frac{1}{2} \cdot 12 + \frac{1}{3} \cdot 12 + \frac{1}{4} \cdot 12}{\frac{1}{3} \cdot 12 - \frac{1}{6} \cdot 12 - \frac{1}{12} \cdot 12} = \frac{6+4+3}{4-2-1} = \frac{13}{1} = 13$.

Ответ: 13.

г) $\frac{\frac{2}{5}-\frac{3}{10}+\frac{11}{15}}{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{1}{6}}$

Умножим числитель и знаменатель основной дроби на наименьшее общее кратное всех знаменателей (5, 10, 15, 2, 3, 6), то есть на 30:

$\frac{(\frac{2}{5}-\frac{3}{10}+\frac{11}{15}) \cdot 30}{(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{1}{6}) \cdot 30} = \frac{\frac{2}{5} \cdot 30 - \frac{3}{10} \cdot 30 + \frac{11}{15} \cdot 30}{\frac{1}{2} \cdot 30 + \frac{2}{3} \cdot 30 - \frac{1}{6} \cdot 30} = \frac{2 \cdot 6 - 3 \cdot 3 + 11 \cdot 2}{15 + 2 \cdot 10 - 5} = \frac{12-9+22}{15+20-5} = \frac{25}{30} = \frac{5}{6}$.

Ответ: $\frac{5}{6}$.

д) $\frac{\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{11}}{\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{9} \cdot \frac{2}{11}}$

Сначала представим числитель и знаменатель основной дроби в виде одной дроби:

$\frac{\frac{1 \cdot 1 \cdot 1}{5 \cdot 9 \cdot 11}}{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{5 \cdot 9 \cdot 11}} = \frac{\frac{1}{495}}{\frac{8}{495}}$.

Теперь умножим числитель и знаменатель на их общий знаменатель 495, переходя к натуральным числам:

$\frac{\frac{1}{495} \cdot 495}{\frac{8}{495} \cdot 495} = \frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$.

е) $\frac{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} \cdot \frac{3}{20}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{13}{20}}$

Представим числитель и знаменатель основной дроби в виде одной дроби. Общий знаменатель для произведений равен $3 \cdot 7 \cdot 20$.

$\frac{\frac{2 \cdot 5 \cdot 3}{3 \cdot 7 \cdot 20}}{\frac{1 \cdot 6 \cdot 13}{3 \cdot 7 \cdot 20}}$

Умножим числитель и знаменатель основной дроби на $3 \cdot 7 \cdot 20$, чтобы перейти к натуральным числам:

$\frac{2 \cdot 5 \cdot 3}{1 \cdot 6 \cdot 13} = \frac{30}{78}$.

Сократим полученную дробь на 6:

$\frac{30 \div 6}{78 \div 6} = \frac{5}{13}$.

Ответ: $\frac{5}{13}$.

ж) $\frac{1\frac{2}{5} \cdot 2\frac{1}{7}}{1\frac{3}{7} \cdot 2\frac{4}{5}}$

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$1\frac{2}{5} = \frac{7}{5}$, $2\frac{1}{7} = \frac{15}{7}$, $1\frac{3}{7} = \frac{10}{7}$, $2\frac{4}{5} = \frac{14}{5}$.

Подставим их в выражение:

$\frac{\frac{7}{5} \cdot \frac{15}{7}}{\frac{10}{7} \cdot \frac{14}{5}} = \frac{\frac{7 \cdot 15}{5 \cdot 7}}{\frac{10 \cdot 14}{7 \cdot 5}}$.

Умножим числитель и знаменатель основной дроби на общий знаменатель $5 \cdot 7 = 35$:

$\frac{7 \cdot 15}{10 \cdot 14} = \frac{105}{140}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель 35:

$\frac{105 \div 35}{140 \div 35} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

з) $\frac{2\frac{1}{2} \cdot 2\frac{1}{3} \cdot 2\frac{1}{4}}{1\frac{1}{2} \cdot 1\frac{2}{3} \cdot 1\frac{3}{4}}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

В числителе: $2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$, $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$, $2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$.

В знаменателе: $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$, $1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$, $1\frac{3}{4} = \frac{7}{4}$.

Подставим их в выражение:

$\frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{7}{3} \cdot \frac{9}{4}}{\frac{3}{2} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{7}{4}} = \frac{\frac{5 \cdot 7 \cdot 9}{2 \cdot 3 \cdot 4}}{\frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{2 \cdot 3 \cdot 4}}$.

Умножим числитель и знаменатель основной дроби на общий знаменатель $2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$:

$\frac{5 \cdot 7 \cdot 9}{3 \cdot 5 \cdot 7}$.

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{5} \cdot \cancel{7} \cdot 9}{3 \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{7}} = \frac{9}{3} = 3$.

Ответ: 3.