Номер 449, страница 94, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

449 Реши уравнение, используя переход к натуральным числам:

1) $ \frac{1}{2}a - \frac{2}{5} = \frac{3}{10}; $

2) $ \frac{1}{4} + \frac{2}{3}b = \frac{5}{12}; $

3) $ 2\frac{1}{3} = 1\frac{1}{2} + \frac{5}{6}c; $

4) $ 1\frac{7}{16} = 2\frac{1}{8} - \frac{3}{4}d; $

5) $ \frac{7}{10}x - \frac{1}{4}x + \frac{1}{5}x = 1\frac{19}{20}; $

6) $ \frac{1}{10} = \frac{2}{3}y + \frac{7}{15}y - \frac{5}{6}y. $

1) Исходное уравнение: $ \frac{1}{2}a - \frac{2}{5} = \frac{3}{10} $.

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 2, 5 и 10. НОК(2, 5, 10) = 10.

$ 10 \cdot (\frac{1}{2}a - \frac{2}{5}) = 10 \cdot \frac{3}{10} $

$ 10 \cdot \frac{1}{2}a - 10 \cdot \frac{2}{5} = 3 $

$ 5a - 4 = 3 $

Теперь решим полученное уравнение с натуральными и целыми числами. Перенесем -4 в правую часть с противоположным знаком:

$ 5a = 3 + 4 $

$ 5a = 7 $

Найдем $a$:

$ a = \frac{7}{5} $

Представим ответ в виде смешанного числа:

$ a = 1\frac{2}{5} $

Ответ: $1\frac{2}{5}$.

2) Исходное уравнение: $ \frac{1}{4} + \frac{2}{3}b = \frac{5}{12} $.

Найдем НОК знаменателей 4, 3 и 12. НОК(4, 3, 12) = 12. Умножим обе части уравнения на 12:

$ 12 \cdot (\frac{1}{4} + \frac{2}{3}b) = 12 \cdot \frac{5}{12} $

$ 12 \cdot \frac{1}{4} + 12 \cdot \frac{2}{3}b = 5 $

$ 3 + 8b = 5 $

Перенесем 3 в правую часть:

$ 8b = 5 - 3 $

$ 8b = 2 $

Найдем $b$:

$ b = \frac{2}{8} $

Сократим дробь:

$ b = \frac{1}{4} $

Ответ: $\frac{1}{4}$.

3) Исходное уравнение: $ 2\frac{1}{3} = 1\frac{1}{2} + \frac{5}{6}c $.

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$ 2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3} $

$ 1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2} $

Уравнение примет вид: $ \frac{7}{3} = \frac{3}{2} + \frac{5}{6}c $.

Найдем НОК знаменателей 3, 2 и 6. НОК(3, 2, 6) = 6. Умножим обе части уравнения на 6:

$ 6 \cdot \frac{7}{3} = 6 \cdot (\frac{3}{2} + \frac{5}{6}c) $

$ 2 \cdot 7 = 6 \cdot \frac{3}{2} + 6 \cdot \frac{5}{6}c $

$ 14 = 3 \cdot 3 + 5c $

$ 14 = 9 + 5c $

Перенесем 9 в левую часть:

$ 14 - 9 = 5c $

$ 5 = 5c $

Найдем $c$:

$ c = \frac{5}{5} = 1 $

Ответ: $1$.

4) Исходное уравнение: $ 1\frac{7}{16} = 2\frac{1}{8} - \frac{3}{4}d $.

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$ 1\frac{7}{16} = \frac{1 \cdot 16 + 7}{16} = \frac{23}{16} $

$ 2\frac{1}{8} = \frac{2 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{17}{8} $

Уравнение примет вид: $ \frac{23}{16} = \frac{17}{8} - \frac{3}{4}d $.

Найдем НОК знаменателей 16, 8 и 4. НОК(16, 8, 4) = 16. Умножим обе части уравнения на 16:

$ 16 \cdot \frac{23}{16} = 16 \cdot (\frac{17}{8} - \frac{3}{4}d) $

$ 23 = 16 \cdot \frac{17}{8} - 16 \cdot \frac{3}{4}d $

$ 23 = 2 \cdot 17 - 4 \cdot 3d $

$ 23 = 34 - 12d $

Перенесем слагаемые, чтобы выделить $d$:

$ 12d = 34 - 23 $

$ 12d = 11 $

Найдем $d$:

$ d = \frac{11}{12} $

Ответ: $\frac{11}{12}$.

5) Исходное уравнение: $ \frac{7}{10}x - \frac{1}{4}x + \frac{1}{5}x = 1\frac{19}{20} $.

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$ 1\frac{19}{20} = \frac{1 \cdot 20 + 19}{20} = \frac{39}{20} $

Уравнение примет вид: $ \frac{7}{10}x - \frac{1}{4}x + \frac{1}{5}x = \frac{39}{20} $.

Найдем НОК знаменателей 10, 4, 5 и 20. НОК(10, 4, 5, 20) = 20. Умножим обе части уравнения на 20:

$ 20 \cdot (\frac{7}{10}x - \frac{1}{4}x + \frac{1}{5}x) = 20 \cdot \frac{39}{20} $

$ 20 \cdot \frac{7}{10}x - 20 \cdot \frac{1}{4}x + 20 \cdot \frac{1}{5}x = 39 $

$ 2 \cdot 7x - 5x + 4x = 39 $

$ 14x - 5x + 4x = 39 $

Сложим коэффициенты при $x$:

$ (14 - 5 + 4)x = 39 $

$ 13x = 39 $

Найдем $x$:

$ x = \frac{39}{13} = 3 $

Ответ: $3$.

6) Исходное уравнение: $ \frac{1}{10} = \frac{2}{3}y + \frac{7}{15}y - \frac{5}{6}y $.

Сначала сгруппируем слагаемые с $y$ в правой части:

$ \frac{1}{10} = (\frac{2}{3} + \frac{7}{15} - \frac{5}{6})y $

Найдем НОК знаменателей 10, 3, 15 и 6. НОК(10, 3, 15, 6) = 30. Умножим обе части уравнения на 30:

$ 30 \cdot \frac{1}{10} = 30 \cdot (\frac{2}{3}y + \frac{7}{15}y - \frac{5}{6}y) $

$ 3 = 30 \cdot \frac{2}{3}y + 30 \cdot \frac{7}{15}y - 30 \cdot \frac{5}{6}y $

$ 3 = 10 \cdot 2y + 2 \cdot 7y - 5 \cdot 5y $

$ 3 = 20y + 14y - 25y $

Сложим коэффициенты при $y$:

$ 3 = (20 + 14 - 25)y $

$ 3 = 9y $

Найдем $y$:

$ y = \frac{3}{9} $

Сократим дробь:

$ y = \frac{1}{3} $

Ответ: $\frac{1}{3}$.