Номер 454, страница 95, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

454 Вычисли и сравни:

а) $ \left( \frac{1}{2} + \frac{2}{5} \right)^2 $ и $ \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{2}{5} \right)^2 $

б) $ \left( \frac{1}{2} - \frac{2}{5} \right)^2 $ и $ \left( \frac{1}{2} \right)^2 - \left( \frac{2}{5} \right)^2 $

в) $ \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} \right)^2 $ и $ \left( \frac{1}{2} \right)^2 \cdot \left( \frac{2}{5} \right)^2 $

г) $ \left( \frac{1}{2} : \frac{2}{5} \right)^2 $ и $ \left( \frac{1}{2} \right)^2 : \left( \frac{2}{5} \right)^2 $

а) Сравним выражения $(\frac{1}{2} + \frac{2}{5})^2$ и $(\frac{1}{2})^2 + (\frac{2}{5})^2$.

1. Вычислим значение первого выражения. Сначала выполним сложение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю 10:

$(\frac{1}{2} + \frac{2}{5})^2 = (\frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} + \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2})^2 = (\frac{5}{10} + \frac{4}{10})^2 = (\frac{9}{10})^2$

Теперь возведем полученную дробь в квадрат:

$(\frac{9}{10})^2 = \frac{9^2}{10^2} = \frac{81}{100}$

2. Вычислим значение второго выражения. Сначала возведем в квадрат каждую дробь, а затем сложим результаты:

$(\frac{1}{2})^2 + (\frac{2}{5})^2 = \frac{1^2}{2^2} + \frac{2^2}{5^2} = \frac{1}{4} + \frac{4}{25}$

Приведем дроби к общему знаменателю 100 и сложим их:

$\frac{1}{4} + \frac{4}{25} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} + \frac{4 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{25}{100} + \frac{16}{100} = \frac{41}{100}$

3. Сравним полученные результаты: $\frac{81}{100}$ и $\frac{41}{100}$.

Так как числитель первой дроби больше числителя второй ($81 > 41$), то $\frac{81}{100} > \frac{41}{100}$.

Ответ: $(\frac{1}{2} + \frac{2}{5})^2 > (\frac{1}{2})^2 + (\frac{2}{5})^2$.

б) Сравним выражения $(\frac{1}{2} - \frac{2}{5})^2$ и $(\frac{1}{2})^2 - (\frac{2}{5})^2$.

1. Вычислим значение первого выражения. Сначала выполним вычитание в скобках, приведя дроби к общему знаменателю 10:

$(\frac{1}{2} - \frac{2}{5})^2 = (\frac{5}{10} - \frac{4}{10})^2 = (\frac{1}{10})^2 = \frac{1^2}{10^2} = \frac{1}{100}$

2. Вычислим значение второго выражения. Сначала возведем в квадрат каждую дробь, а затем найдем их разность:

$(\frac{1}{2})^2 - (\frac{2}{5})^2 = \frac{1}{4} - \frac{4}{25} = \frac{25}{100} - \frac{16}{100} = \frac{9}{100}$

3. Сравним полученные результаты: $\frac{1}{100}$ и $\frac{9}{100}$.

Так как числитель первой дроби меньше числителя второй ($1 < 9$), то $\frac{1}{100} < \frac{9}{100}$.

Ответ: $(\frac{1}{2} - \frac{2}{5})^2 < (\frac{1}{2})^2 - (\frac{2}{5})^2$.

в) Сравним выражения $(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5})^2$ и $(\frac{1}{2})^2 \cdot (\frac{2}{5})^2$.

1. Вычислим значение первого выражения. Сначала выполним умножение в скобках:

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5})^2 = (\frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 5})^2 = (\frac{2}{10})^2 = (\frac{1}{5})^2 = \frac{1}{25}$

2. Вычислим значение второго выражения. Сначала возведем в квадрат каждую дробь, а затем перемножим результаты:

$(\frac{1}{2})^2 \cdot (\frac{2}{5})^2 = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{25} = \frac{1 \cdot 4}{4 \cdot 25} = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$

3. Сравним полученные результаты: $\frac{1}{25}$ и $\frac{1}{25}$.

Значения выражений равны. Это иллюстрирует свойство степени: квадрат произведения равен произведению квадратов $(a \cdot b)^2 = a^2 \cdot b^2$.

Ответ: $(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5})^2 = (\frac{1}{2})^2 \cdot (\frac{2}{5})^2$.

г) Сравним выражения $(\frac{1}{2} : \frac{2}{5})^2$ и $(\frac{1}{2})^2 : (\frac{2}{5})^2$.

1. Вычислим значение первого выражения. Сначала выполним деление в скобках, заменив его умножением на обратную дробь:

$(\frac{1}{2} : \frac{2}{5})^2 = (\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{2})^2 = (\frac{5}{4})^2 = \frac{5^2}{4^2} = \frac{25}{16}$

2. Вычислим значение второго выражения. Сначала возведем в квадрат каждую дробь, а затем разделим результаты:

$(\frac{1}{2})^2 : (\frac{2}{5})^2 = \frac{1}{4} : \frac{4}{25} = \frac{1}{4} \cdot \frac{25}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 4} = \frac{25}{16}$

3. Сравним полученные результаты: $\frac{25}{16}$ и $\frac{25}{16}$.

Значения выражений равны. Это иллюстрирует свойство степени: квадрат частного равен частному квадратов $(a : b)^2 = a^2 : b^2$.

Ответ: $(\frac{1}{2} : \frac{2}{5})^2 = (\frac{1}{2})^2 : (\frac{2}{5})^2$.