Номер 456, страница 95, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

456 Переведи высказывания с математического языка на русский, если $a, b, c \in N$.

Сравни высказывания: что в них общего и чем они отличаются? Какую форму записи этих высказываний ты находишь более удобной?

1) $(a \cdot b) : c = (a : c) \cdot b$ и $\frac{a}{c} \cdot b = \frac{a \cdot b}{c}$;

2) $a : (b \cdot c) = (a : b) : c$ и $\frac{a}{b} : c = \frac{a}{b \cdot c}$;

3) $a : b = (a \cdot c) : (b \cdot c)$ и $\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c}$;

4) $a : b = (a : c) : (b : c)$ и $\frac{a}{b} = \frac{a : c}{b : c}$.

1) Данные математические высказывания $ (a \cdot b) : c = (a : c) \cdot b $ и $ \frac{a}{c} \cdot b = \frac{a \cdot b}{c} $ переводятся на русский язык следующим правилом: чтобы разделить произведение двух чисел на третье число, можно разделить на это число один из множителей (если такое деление возможно нацело), а полученное частное умножить на второй множитель. Это правило деления произведения на число.
Ответ: Чтобы разделить произведение на число, можно разделить на это число один из множителей, а результат умножить на другой.

2) Данные математические высказывания $ a : (b \cdot c) = (a : b) : c $ и $ \frac{a}{b} : c = \frac{a}{b \cdot c} $ переводятся на русский язык следующим правилом: чтобы разделить число на произведение двух других чисел, можно разделить это число на первый множитель, а затем полученный результат разделить на второй множитель. Это правило деления числа на произведение.
Ответ: Чтобы разделить число на произведение, можно разделить это число на первый множитель, а затем результат разделить на второй.

3) Данные математические высказывания $ a : b = (a \cdot c) : (b \cdot c) $ и $ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c} $ являются формулировкой основного свойства частного (или дроби): если делимое и делитель умножить на одно и то же натуральное число, отличное от нуля, то частное не изменится.
Ответ: Частное не изменится, если делимое и делитель умножить на одно и то же натуральное число.

4) Данные математические высказывания $ a : b = (a : c) : (b : c) $ и $ \frac{a}{b} = \frac{a:c}{b:c} $ также являются формулировкой основного свойства частного (или дроби), но в контексте упрощения: если делимое и делитель разделить на одно и то же натуральное число (которое является их общим делителем), то частное не изменится. Это правило лежит в основе сокращения дробей.
Ответ: Частное не изменится, если делимое и делитель разделить на их общий делитель.

Сравнение высказываний и выбор удобной формы записи

Что общего:
Во всех четырех пунктах представлены одни и те же математические законы (свойства деления), записанные двумя разными способами. В каждом пункте первое равенство использует для деления знак двоеточия ($ : $), а второе — дробную черту. Таким образом, все высказывания описывают свойства операции деления.

Чем отличаются:
Основное отличие между двумя формами записи в каждом пункте — это используемый символ для операции деления. Кроме того, сами правила, описанные в разных пунктах (1, 2, 3, 4), отличаются друг от друга: пункт 1 описывает деление произведения на число, пункт 2 — деление числа на произведение, а пункты 3 и 4 — основное свойство частного (умножение и деление делимого и делителя на одно и то же число).

Какую форму записи ты находишь более удобной?
Форма записи с использованием дробной черты (например, $ \frac{a}{b} $) является более удобной, наглядной и общепринятой в математике по нескольким причинам:

• Однозначность: Дробная черта четко и визуально отделяет все выражение в числителе (делимое) от всего выражения в знаменателе (делитель). Это помогает избежать путаницы с порядком действий. Например, запись $ \frac{a}{b \cdot c} $ однозначна, в то время как запись $ a : b \cdot c $ может быть понята неверно как $ (a : b) \cdot c $. Для правильного прочтения приходится использовать скобки: $ a : (b \cdot c) $.
• Наглядность преобразований: Преобразования выражений, такие как сокращение дробей (пункты 3 и 4), выглядят гораздо нагляднее при использовании дробной черты: $ \frac{a \cdot c}{b \cdot c} = \frac{a}{b} $.
• Стандарт: В алгебре, геометрии и всех разделах высшей математики практически всегда используется запись деления в виде дроби. Знак двоеточия ($ : $) в основном применяется в начальной школе и арифметических расчетах.

Ответ: Общим для высказываний является описание свойств деления. Различаются они конкретными свойствами и формой записи (двоеточие или дробная черта). Запись с помощью дробной черты является более удобной, наглядной и позволяет избежать двусмысленности.