Номер 451, страница 94, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

451 Сравни:

а) $\frac{1}{48} + \frac{1}{50}$ и $\frac{2}{49}$;

б) $\frac{1}{11}$ и $\frac{1}{21} + \frac{1}{23}$;

в) $\frac{1}{30} - \frac{1}{31}$ и $\frac{1}{31} - \frac{1}{32}$;

г) $\frac{1}{57} - \frac{1}{58}$ и $\frac{1}{56} - \frac{1}{57}$.

а)

Чтобы сравнить два выражения, $ \frac{1}{48} + \frac{1}{50} $ и $ \frac{2}{49} $, рассмотрим более общее утверждение. Сравним $ \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n+1} $ и $ \frac{2}{n} $ для $ n > 1 $.

Преобразуем левую часть:

$ \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n+1} = \frac{(n+1) + (n-1)}{(n-1)(n+1)} = \frac{2n}{n^2 - 1} $.

Теперь сравним $ \frac{2n}{n^2 - 1} $ и $ \frac{2}{n} $. Поскольку все числа положительные, мы можем использовать перекрестное умножение, то есть сравнить числитель одной дроби, умноженный на знаменатель другой, с числителем второй, умноженным на знаменатель первой. Сравним $ 2n \cdot n $ и $ 2 \cdot (n^2 - 1) $.

Это дает $ 2n^2 $ и $ 2n^2 - 2 $.

Очевидно, что $ 2n^2 > 2n^2 - 2 $. Следовательно, $ \frac{2n}{n^2 - 1} > \frac{2}{n} $, что означает $ \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n+1} > \frac{2}{n} $.

В нашем случае $ n = 49 $. Подставив это значение в доказанное неравенство, получаем:

$ \frac{1}{48} + \frac{1}{50} > \frac{2}{49} $.

Ответ: $ \frac{1}{48} + \frac{1}{50} > \frac{2}{49} $.

б)

Нужно сравнить $ \frac{1}{11} $ и $ \frac{1}{21} + \frac{1}{23} $.

Заметим, что $ \frac{1}{11} = \frac{2}{22} $. Таким образом, задача сводится к сравнению $ \frac{2}{22} $ и $ \frac{1}{21} + \frac{1}{23} $.

Эта задача имеет ту же структуру, что и в пункте а). Если мы возьмем $ n = 22 $, то нам нужно сравнить $ \frac{2}{n} $ и $ \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n+1} $.

В пункте а) мы уже доказали, что для любого $ n > 1 $:

$ \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n+1} > \frac{2}{n} $.

Подставив $ n = 22 $, получаем:

$ \frac{1}{21} + \frac{1}{23} > \frac{2}{22} $.

А так как $ \frac{2}{22} = \frac{1}{11} $, то $ \frac{1}{21} + \frac{1}{23} > \frac{1}{11} $.

Ответ: $ \frac{1}{11} < \frac{1}{21} + \frac{1}{23} $.

в)

Необходимо сравнить $ A = \frac{1}{30} - \frac{1}{31} $ и $ B = \frac{1}{31} - \frac{1}{32} $. Для этого определим знак их разности $ A - B $.

$ A - B = \left(\frac{1}{30} - \frac{1}{31}\right) - \left(\frac{1}{31} - \frac{1}{32}\right) = \frac{1}{30} - \frac{2}{31} + \frac{1}{32} = \left(\frac{1}{30} + \frac{1}{32}\right) - \frac{2}{31} $.

Таким образом, знак разности $ A - B $ совпадает со знаком разности $ \left(\frac{1}{30} + \frac{1}{32}\right) - \frac{2}{31} $. Сравнение $ A $ и $ B $ эквивалентно сравнению $ \frac{1}{30} + \frac{1}{32} $ и $ \frac{2}{31} $.

Эта задача снова сводится к известной нам из пункта а) структуре. Пусть $ n = 31 $. Нам нужно сравнить $ \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n+1} $ и $ \frac{2}{n} $. Мы уже знаем, что $ \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n+1} > \frac{2}{n} $.

Следовательно, $ \frac{1}{30} + \frac{1}{32} > \frac{2}{31} $. Это означает, что разность $ A - B $ положительна, то есть $ A > B $.

Ответ: $ \frac{1}{30} - \frac{1}{31} > \frac{1}{31} - \frac{1}{32} $.

г)

Сравниваем $ A = \frac{1}{57} - \frac{1}{58} $ и $ B = \frac{1}{56} - \frac{1}{57} $. Как и в предыдущем пункте, рассмотрим их разность $ A - B $.

$ A - B = \left(\frac{1}{57} - \frac{1}{58}\right) - \left(\frac{1}{56} - \frac{1}{57}\right) = \frac{2}{57} - \frac{1}{58} - \frac{1}{56} = \frac{2}{57} - \left(\frac{1}{56} + \frac{1}{58}\right) $.

Сравнение $ A $ и $ B $ эквивалентно определению знака выражения $ \frac{2}{57} - \left(\frac{1}{56} + \frac{1}{58}\right) $, что равносильно сравнению $ \frac{2}{57} $ и $ \frac{1}{56} + \frac{1}{58} $.

И снова мы видим знакомую структуру. Пусть $ n = 57 $. Сравниваем $ \frac{2}{n} $ и $ \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n+1} $. Из пункта а) известно, что $ \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n+1} > \frac{2}{n} $.

Подставляя $ n = 57 $, получаем: $ \frac{1}{56} + \frac{1}{58} > \frac{2}{57} $. Это означает, что разность $ A-B $ отрицательна, то есть $ A < B $.

Ответ: $ \frac{1}{57} - \frac{1}{58} < \frac{1}{56} - \frac{1}{57} $.