Номер 457, страница 95, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

457 Переведи высказывания с математического языка на русский. Докажи или опровергни их.

1) $(a \cdot b)^2 = a^2 \cdot b^2;$

2) $(\frac{a}{b})^2 = \frac{a^2}{b^2}$, где $b \ne 0$.

1) $(a \cdot b)^2 = a^2 \cdot b^2$

Перевод на русский язык: Квадрат произведения двух чисел равен произведению их квадратов.

Доказательство:

Рассмотрим левую часть равенства. По определению степени с натуральным показателем, $(a \cdot b)^2$ означает произведение двух одинаковых множителей, каждый из которых равен $(a \cdot b)$.

$(a \cdot b)^2 = (a \cdot b) \cdot (a \cdot b)$

Используя переместительное (коммутативное) и сочетательное (ассоциативное) свойства умножения, мы можем перегруппировать множители:

$(a \cdot b) \cdot (a \cdot b) = a \cdot b \cdot a \cdot b = (a \cdot a) \cdot (b \cdot b)$

Произведение $(a \cdot a)$ есть $a^2$, а произведение $(b \cdot b)$ есть $b^2$. Следовательно:

$(a \cdot a) \cdot (b \cdot b) = a^2 \cdot b^2$

Мы получили, что левая часть равенства $(a \cdot b)^2$ равна правой части $a^2 \cdot b^2$. Таким образом, высказывание доказано.

Ответ: Высказывание верно.

2) $(\frac{a}{b})^2 = \frac{a^2}{b^2}$, где $b \neq 0$

Перевод на русский язык: Квадрат частного (дроби) двух чисел равен частному их квадратов, при условии, что делитель не равен нулю.

Доказательство:

Рассмотрим левую часть равенства. По определению степени, $(\frac{a}{b})^2$ — это произведение дроби $\frac{a}{b}$ самой на себя.

$(\frac{a}{b})^2 = \frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b}$

По правилу умножения дробей, чтобы перемножить две дроби, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели:

$\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} = \frac{a \cdot a}{b \cdot b}$

По определению степени, $a \cdot a = a^2$ и $b \cdot b = b^2$.

$\frac{a \cdot a}{b \cdot b} = \frac{a^2}{b^2}$

Мы получили, что левая часть равенства $(\frac{a}{b})^2$ равна правой части $\frac{a^2}{b^2}$. Условие $b \neq 0$ необходимо, так как деление на ноль не определено. Таким образом, высказывание доказано.

Ответ: Высказывание верно.