Номер 408, страница 83, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

408 Прочитай выражения, найди их значения и сравни:

а) $(\frac{1}{2} + \frac{1}{4})^2$;

б) $(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{4})^2$;

в) $(\frac{1}{2})^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} + (\frac{1}{4})^2$.

Что ты наблюдаешь? Сформулируй и докажи гипотезу.

а) Найдем значение выражения $(\frac{1}{2} + \frac{1}{4})^2$.

Сначала выполним сложение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю 4:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2+1}{4} = \frac{3}{4}$

Теперь возведем результат в квадрат:

$(\frac{3}{4})^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16}$

Ответ: $\frac{9}{16}$.

б) Найдем значение выражения $(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{4})^2$.

Сначала возведем каждую дробь в квадрат:

$(\frac{1}{2})^2 = \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4}$

$(\frac{1}{4})^2 = \frac{1^2}{4^2} = \frac{1}{16}$

Теперь сложим полученные значения. Приведем дроби к общему знаменателю 16:

$\frac{1}{4} + \frac{1}{16} = \frac{4}{16} + \frac{1}{16} = \frac{4+1}{16} = \frac{5}{16}$

Ответ: $\frac{5}{16}$.

в) Найдем значение выражения $(\frac{1}{2})^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} + (\frac{1}{4})^2$.

Вычислим значение каждого слагаемого по отдельности:

Первое слагаемое: $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Второе слагаемое: $2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Третье слагаемое: $(\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$

Теперь сложим все три значения. Приведем дроби к общему знаменателю 16:

$\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} = \frac{4}{16} + \frac{4}{16} + \frac{1}{16} = \frac{4+4+1}{16} = \frac{9}{16}$

Ответ: $\frac{9}{16}$.

Сравнение значений:

Значение выражения а) равно $\frac{9}{16}$.

Значение выражения б) равно $\frac{5}{16}$.

Значение выражения в) равно $\frac{9}{16}$.

Таким образом, значения выражений а) и в) равны, а значение выражения б) отличается от них: $(\frac{1}{2} + \frac{1}{4})^2 = (\frac{1}{2})^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} + (\frac{1}{4})^2 \neq (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{4})^2$.

Наблюдение и гипотеза:

Мы наблюдаем, что результат вычисления выражения а) $(\frac{1}{2} + \frac{1}{4})^2$ совпадает с результатом вычисления выражения в) $(\frac{1}{2})^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} + (\frac{1}{4})^2$. Это пример известной формулы сокращенного умножения, а именно "квадрат суммы".

Гипотеза: Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа, плюс удвоенное произведение первого и второго чисел, плюс квадрат второго числа. Алгебраически это записывается так: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Также мы видим, что квадрат суммы не равен сумме квадратов: $(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$ (за исключением случаев, когда $a=0$ или $b=0$). В нашем примере: $\frac{9}{16} \neq \frac{5}{16}$.

Доказательство гипотезы:

Докажем тождество $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

По определению, возведение в квадрат означает умножение выражения само на себя:

$(a+b)^2 = (a+b)(a+b)$

Раскроем скобки, используя распределительный закон умножения (каждый член первой скобки умножается на каждый член второй скобки):

$(a+b)(a+b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^2 + ab + ba + b^2$

Так как от перестановки множителей произведение не меняется ($ab = ba$), мы можем привести подобные слагаемые:

$a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Таким образом, мы доказали, что $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, что и требовалось доказать.