Номер 403, страница 83, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

403 Упрости выражение и найди его значение:

1) $4\frac{3}{5}x+x+2\frac{1}{2}x+\frac{7}{15}x+3\frac{1}{10}x$, если $x = \frac{9}{14}, 1\frac{4}{5}, 3$;

2) $1\frac{2}{9}y+3\frac{2}{7}+y+1\frac{3}{14}+\frac{5}{6}y+2\frac{1}{2}y$, если $y = \frac{6}{25}, 1\frac{4}{5}, 9$.

1) Сначала упростим выражение. Для этого сгруппируем все слагаемые, содержащие переменную x, и сложим их коэффициенты:

$4\frac{3}{5}x + x + 2\frac{1}{2}x + \frac{7}{15}x + 3\frac{1}{10}x = (4\frac{3}{5} + 1 + 2\frac{1}{2} + \frac{7}{15} + 3\frac{1}{10})x$

Чтобы сложить коэффициенты, сложим отдельно целые и дробные части:

Сумма целых частей: $4 + 1 + 2 + 3 = 10$.

Сумма дробных частей: $\frac{3}{5} + \frac{1}{2} + \frac{7}{15} + \frac{1}{10}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 30:

$\frac{3 \cdot 6}{5 \cdot 6} + \frac{1 \cdot 15}{2 \cdot 15} + \frac{7 \cdot 2}{15 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{18}{30} + \frac{15}{30} + \frac{14}{30} + \frac{3}{30} = \frac{18+15+14+3}{30} = \frac{50}{30} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$.

Сумма коэффициентов равна: $10 + 1\frac{2}{3} = 11\frac{2}{3}$.

Таким образом, упрощенное выражение: $11\frac{2}{3}x$.

Для удобства дальнейших вычислений представим коэффициент в виде неправильной дроби: $11\frac{2}{3} = \frac{11 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{35}{3}$.

Теперь найдем значение выражения $\frac{35}{3}x$ для каждого заданного значения x:

• если $x = \frac{9}{14}$, то значение выражения равно:

  $\frac{35}{3} \cdot \frac{9}{14} = \frac{35 \cdot 9}{3 \cdot 14} = \frac{(5 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 3)}{3 \cdot (2 \cdot 7)} = \frac{5 \cdot 3}{2} = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2}$.

• если $x = 1\frac{4}{5} = \frac{9}{5}$, то значение выражения равно:

  $\frac{35}{3} \cdot \frac{9}{5} = \frac{35 \cdot 9}{3 \cdot 5} = \frac{(7 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 3)}{3 \cdot 5} = 7 \cdot 3 = 21$.

• если $x = 3$, то значение выражения равно:

  $\frac{35}{3} \cdot 3 = 35$.

Ответ: упрощенное выражение $11\frac{2}{3}x$; при $x = \frac{9}{14}$ значение равно $7\frac{1}{2}$; при $x = 1\frac{4}{5}$ значение равно $21$; при $x = 3$ значение равно $35$.

2) Сначала упростим выражение. Для этого сгруппируем слагаемые с переменной y и свободные члены (числа) отдельно:

$(1\frac{2}{9}y + y + \frac{5}{6}y + 2\frac{1}{2}y) + (3\frac{2}{7} + 1\frac{3}{14})$

Найдем сумму коэффициентов при y:

$1\frac{2}{9} + 1 + \frac{5}{6} + 2\frac{1}{2} = (1+1+2) + (\frac{2}{9} + \frac{5}{6} + \frac{1}{2}) = 4 + (\frac{4}{18} + \frac{15}{18} + \frac{9}{18}) = 4 + \frac{28}{18} = 4 + \frac{14}{9} = 4 + 1\frac{5}{9} = 5\frac{5}{9}$.

Найдем сумму свободных членов:

$3\frac{2}{7} + 1\frac{3}{14} = (3+1) + (\frac{2}{7} + \frac{3}{14}) = 4 + (\frac{4}{14} + \frac{3}{14}) = 4 + \frac{7}{14} = 4 + \frac{1}{2} = 4\frac{1}{2}$.

Таким образом, упрощенное выражение: $5\frac{5}{9}y + 4\frac{1}{2}$.

Для удобства вычислений представим смешанные числа в виде неправильных дробей: $5\frac{5}{9} = \frac{50}{9}$ и $4\frac{1}{2} = \frac{9}{2}$. Выражение примет вид: $\frac{50}{9}y + \frac{9}{2}$.

Теперь найдем значение этого выражения для каждого заданного значения y:

• если $y = \frac{6}{25}$, то значение выражения равно:

  $\frac{50}{9} \cdot \frac{6}{25} + \frac{9}{2} = \frac{50 \cdot 6}{9 \cdot 25} + \frac{9}{2} = \frac{2 \cdot 2}{3} + \frac{9}{2} = \frac{4}{3} + \frac{9}{2} = \frac{8}{6} + \frac{27}{6} = \frac{35}{6} = 5\frac{5}{6}$.

• если $y = 1\frac{4}{5} = \frac{9}{5}$, то значение выражения равно:

  $\frac{50}{9} \cdot \frac{9}{5} + \frac{9}{2} = \frac{50}{5} + \frac{9}{2} = 10 + 4\frac{1}{2} = 14\frac{1}{2}$.

• если $y = 9$, то значение выражения равно:

  $\frac{50}{9} \cdot 9 + \frac{9}{2} = 50 + 4\frac{1}{2} = 54\frac{1}{2}$.

Ответ: упрощенное выражение $5\frac{5}{9}y + 4\frac{1}{2}$; при $y = \frac{6}{25}$ значение равно $5\frac{5}{6}$; при $y = 1\frac{4}{5}$ значение равно $14\frac{1}{2}$; при $y = 9$ значение равно $54\frac{1}{2}$.