Номер 400, страница 81, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

400 1) Прочитай определение и назови определяемое понятие:

Факториалом натурального числа $n$ называется произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$:

$n!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot n$

($n!$ читается: «эн факториал»).

2) Вычисли: $2!, 3!, 4!, 5!, 6!, 10!$.

3) Сравни: $\frac{1}{4!}$ и $\frac{1}{9!}$, $\frac{1}{56!}$ и $\frac{1}{49!}$, $\frac{1}{n!}$ и $\frac{1}{(n+3)!}$.

4) Приведи к несократимому виду дроби:

$\frac{5!}{7!}$, $\frac{6!}{4!}$, $\frac{5!}{3! \cdot 4!}$, $\frac{8!}{4! \cdot 4!}$, $\frac{12!}{5! \cdot 7!}$, $\frac{100!}{98! \cdot 2!}$

5) Приведи дроби к наименьшему общему знаменателю:

$\frac{1}{2!}$ и $\frac{1}{5!}$, $\frac{1}{3!}$ и $\frac{1}{4!}$, $\frac{1}{7!}$ и $\frac{1}{5!}$, $\frac{1}{99!}$ и $\frac{1}{100!}$

6) Найди значение разностей:

$\frac{1}{2!} - \frac{1}{3!}$, $\frac{1}{3!} - \frac{1}{4!}$, $\frac{1}{4!} - \frac{1}{5!}$, $\frac{1}{5!} - \frac{1}{6!}$

Запиши следующие две разности и найди их значение. Чему равна разность $\frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!}$?

БЫЛЬ: «Однажды на экзамене...»

Преподаватель. Прочитайте выражение:

$\frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{5!}$

Студент. Единица, делённая на два-а-а!.. Плюс единица, делённая на три-и-и!.. Плюс единица, делённая на четы-ы-ыре!..

Преподаватель. Постойте, постойте... Почему вы кричите?

Студент. Но там же написаны восклицательные знаки?!

1) В приведенном определении: "Факториалом натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n", определяемым понятием является факториал натурального числа n (или сокращенно факториал).

Ответ: факториал натурального числа n.

2) Вычислим значения факториалов:

$2! = 1 \cdot 2 = 2$

$3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$

$4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$

$5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$

$6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720$

$10! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 = 3628800$

Ответ: $2! = 2$; $3! = 6$; $4! = 24$; $5! = 120$; $6! = 720$; $10! = 3628800$.

3) Сравним дроби. При сравнении двух дробей с одинаковыми числителями (в нашем случае 1) больше та дробь, у которой знаменатель меньше.

$\frac{1}{4!}$ и $\frac{1}{9!}$. Так как $4! < 9!$, то $\frac{1}{4!} > \frac{1}{9!}$.

$\frac{1}{56!}$ и $\frac{1}{49!}$. Так как $56! > 49!$, то $\frac{1}{56!} < \frac{1}{49!}$.

$\frac{1}{n!}$ и $\frac{1}{(n+3)!}$. Для любого натурального $n$ выполняется неравенство $(n+3)! > n!$, поскольку $(n+3)! = n! \cdot (n+1)(n+2)(n+3)$. Следовательно, $\frac{1}{n!} > \frac{1}{(n+3)!}$.

Ответ: $\frac{1}{4!} > \frac{1}{9!}$; $\frac{1}{56!} < \frac{1}{49!}$; $\frac{1}{n!} > \frac{1}{(n+3)!}$.

4) Приведем дроби к несократимому виду, используя свойство факториала $n! = (n-k)! \cdot (n-k+1) \cdot ... \cdot n$.

$\frac{5!}{7!} = \frac{5!}{5! \cdot 6 \cdot 7} = \frac{1}{6 \cdot 7} = \frac{1}{42}$

$\frac{6!}{4!} = \frac{4! \cdot 5 \cdot 6}{4!} = 5 \cdot 6 = 30$

$\frac{5!}{3! \cdot 4!} = \frac{3! \cdot 4 \cdot 5}{3! \cdot 4!} = \frac{4 \cdot 5}{4!} = \frac{20}{24} = \frac{5}{6}$

$\frac{8!}{4! \cdot 4!} = \frac{4! \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{4! \cdot 4!} = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 5 \cdot (\frac{6}{2 \cdot 3}) \cdot 7 \cdot (\frac{8}{4}) = 5 \cdot 1 \cdot 7 \cdot 2 = 70$

$\frac{12!}{5! \cdot 7!} = \frac{7! \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12}{5! \cdot 7!} = \frac{8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} = (\frac{8 \cdot 12}{2 \cdot 3 \cdot 4}) \cdot (\frac{10}{5}) \cdot 9 \cdot 11 = 4 \cdot 2 \cdot 9 \cdot 11 = 792$

$\frac{100!}{98! \cdot 2!} = \frac{98! \cdot 99 \cdot 100}{98! \cdot 2!} = \frac{99 \cdot 100}{1 \cdot 2} = 99 \cdot 50 = 4950$

Ответ: $\frac{1}{42}$; $30$; $\frac{5}{6}$; $70$; $792$; $4950$.

5) Приведем дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ). Для знаменателей $a!$ и $b!$ (где $a < b$) НОЗ будет $b!$.

$\frac{1}{2!}$ и $\frac{1}{5!}$. НОЗ = $5!$. $\frac{1}{2!} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{2! \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{60}{5!}$. Получаем дроби $\frac{60}{5!}$ и $\frac{1}{5!}$.

$\frac{1}{3!}$ и $\frac{1}{4!}$. НОЗ = $4!$. $\frac{1}{3!} = \frac{1 \cdot 4}{3! \cdot 4} = \frac{4}{4!}$. Получаем дроби $\frac{4}{4!}$ и $\frac{1}{4!}$.

$\frac{1}{7!}$ и $\frac{1}{5!}$. НОЗ = $7!$. $\frac{1}{5!} = \frac{1 \cdot 6 \cdot 7}{5! \cdot 6 \cdot 7} = \frac{42}{7!}$. Получаем дроби $\frac{1}{7!}$ и $\frac{42}{7!}$.

$\frac{1}{99!}$ и $\frac{1}{100!}$. НОЗ = $100!$. $\frac{1}{99!} = \frac{1 \cdot 100}{99! \cdot 100} = \frac{100}{100!}$. Получаем дроби $\frac{100}{100!}$ и $\frac{1}{100!}$.

Ответ: $\frac{60}{5!}$ и $\frac{1}{5!}$; $\frac{4}{4!}$ и $\frac{1}{4!}$; $\frac{1}{7!}$ и $\frac{42}{7!}$; $\frac{100}{100!}$ и $\frac{1}{100!}$.

6) Найдем значения разностей, приводя их к общему знаменателю:

$\frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} = \frac{3}{3!} - \frac{1}{3!} = \frac{2}{3!} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3!} - \frac{1}{4!} = \frac{4}{4!} - \frac{1}{4!} = \frac{3}{4!} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$

$\frac{1}{4!} - \frac{1}{5!} = \frac{5}{5!} - \frac{1}{5!} = \frac{4}{5!} = \frac{4}{120} = \frac{1}{30}$

$\frac{1}{5!} - \frac{1}{6!} = \frac{6}{6!} - \frac{1}{6!} = \frac{5}{6!} = \frac{5}{720} = \frac{1}{144}$

Следующие две разности в последовательности:

$\frac{1}{6!} - \frac{1}{7!} = \frac{7}{7!} - \frac{1}{7!} = \frac{6}{7!} = \frac{6}{5040} = \frac{1}{840}$

$\frac{1}{7!} - \frac{1}{8!} = \frac{8}{8!} - \frac{1}{8!} = \frac{7}{8!} = \frac{7}{40320} = \frac{1}{5760}$

Общая формула для разности $\frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!}$:

$\frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!} = \frac{n+1}{(n+1)!} - \frac{1}{(n+1)!} = \frac{n+1-1}{(n+1)!} = \frac{n}{(n+1)!}$

Ответ: Значения разностей: $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{8}$, $\frac{1}{30}$, $\frac{1}{144}$. Следующие две разности: $\frac{1}{6!} - \frac{1}{7!} = \frac{1}{840}$ и $\frac{1}{7!} - \frac{1}{8!} = \frac{1}{5760}$. Разность $\frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!}$ равна $\frac{n}{(n+1)!}$.