Номер 397, страница 80, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

397 Придумай 100 несократимых дробей и расположи их в возрастающем порядке.

Чтобы придумать 100 несократимых дробей и расположить их в возрастающем порядке, можно воспользоваться систематическим подходом. Один из таких подходов — создание последовательности дробей определенного вида, для которого легко доказать и несократимость, и порядок возрастания.

Рассмотрим дроби вида $\frac{n}{n+1}$, где $n$ — натуральное число.

Во-первых, убедимся, что любая дробь такого вида является несократимой. Дробь является несократимой, если ее числитель и знаменатель — взаимно простые числа, то есть их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Для дроби $\frac{n}{n+1}$ нам нужно показать, что $НОД(n, n+1) = 1$. Любой общий делитель чисел $n$ и $n+1$ также должен быть делителем их разности: $(n+1) - n = 1$. Единственным натуральным делителем числа 1 является само число 1. Следовательно, $НОД(n, n+1) = 1$. Это означает, что все дроби вида $\frac{n}{n+1}$ являются несократимыми.

Во-вторых, расположим эти дроби в возрастающем порядке. Для этого проанализируем, как меняется значение дроби $\frac{n}{n+1}$ при увеличении $n$. Представим дробь в следующем виде: $\frac{n}{n+1} = \frac{n+1-1}{n+1} = \frac{n+1}{n+1} - \frac{1}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1}$. Когда натуральное число $n$ увеличивается, знаменатель $n+1$ также увеличивается. При увеличении знаменателя положительной дроби $\frac{1}{n+1}$ ее значение уменьшается. Так как мы вычитаем из 1 все меньшее и меньшее положительное число, результат $1 - \frac{1}{n+1}$ будет увеличиваться. Таким образом, чем больше $n$, тем больше значение дроби $\frac{n}{n+1}$. Это означает, что последовательность таких дробей для возрастающих значений $n$ будет упорядочена по возрастанию.

Теперь, чтобы получить 100 таких дробей, возьмем $n$ от 1 до 100 включительно. При $n=1$ получаем дробь $\frac{1}{2}$, при $n=2$ — дробь $\frac{2}{3}$, и так далее, до $n=100$, где получаем дробь $\frac{100}{101}$. В результате мы получаем 100 несократимых дробей, которые уже расположены в возрастающем порядке.

Ответ: $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \dots, \frac{98}{99}, \frac{99}{100}, \frac{100}{101}$.