Номер 390, страница 80, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

390 Найди наименьшее и наибольшее трёхзначные числа $n$, при которых дроби $ \frac{3}{n+1} $, $ \frac{4}{n+2} $, $ \frac{5}{n+3} $, $ \frac{6}{n+4} $ все несократимы.

Для того чтобы дробь $\frac{a}{b}$ была несократимой, необходимо и достаточно, чтобы наибольший общий делитель (НОД) ее числителя и знаменателя был равен 1, то есть $\text{НОД}(a, b) = 1$.

Применим это условие к каждой из данных дробей:

1. Дробь $\frac{3}{n+1}$ несократима, если $\text{НОД}(3, n+1) = 1$. Это означает, что $n+1$ не должно делиться на 3. В виде сравнения по модулю: $n+1 \not\equiv 0 \pmod{3}$, что эквивалентно $n \not\equiv -1 \pmod{3}$, или $n \not\equiv 2 \pmod{3}$.

2. Дробь $\frac{4}{n+2}$ несократима, если $\text{НОД}(4, n+2) = 1$. Так как $4 = 2^2$, это означает, что $n+2$ не должно делиться на 2. Если $n+2$ — нечетное, то и $n$ — нечетное. В виде сравнения по модулю: $n+2 \not\equiv 0 \pmod{2}$, что эквивалентно $n \not\equiv -2 \pmod{2}$, или $n \not\equiv 0 \pmod{2}$.

3. Дробь $\frac{5}{n+3}$ несократима, если $\text{НОД}(5, n+3) = 1$. Это означает, что $n+3$ не должно делиться на 5. В виде сравнения по модулю: $n+3 \not\equiv 0 \pmod{5}$, что эквивалентно $n \not\equiv -3 \pmod{5}$, или $n \not\equiv 2 \pmod{5}$.

4. Дробь $\frac{6}{n+4}$ несократима, если $\text{НОД}(6, n+4) = 1$. Так как $6=2 \times 3$, это означает, что $n+4$ не должно делиться ни на 2, ни на 3.
- Условие $n+4$ не делится на 2 эквивалентно тому, что $n$ нечетное ($n \not\equiv 0 \pmod{2}$), что мы уже получили из п.2.
- Условие $n+4$ не делится на 3 эквивалентно $n+4 \not\equiv 0 \pmod{3}$, или $n \not\equiv -4 \pmod{3}$, что равносильно $n \not\equiv 2 \pmod{3}$, что мы уже получили из п.1.

Таким образом, нам нужно найти трёхзначные числа $n$, которые одновременно удовлетворяют трём условиям:
1. $n$ не делится на 2 (n — нечетное).
2. $n$ при делении на 3 не даёт в остатке 2.
3. $n$ при делении на 5 не даёт в остатке 2.

Нахождение наименьшего трёхзначного числа n

Наименьшее трёхзначное число — это 100. Будем проверять числа по порядку, начиная со 100.

- $n=100$: Чётное. Не подходит (нарушает условие 1).

- $n=101$: Нечётное. $101 = 3 \times 33 + 2$. Даёт остаток 2 при делении на 3. Не подходит (нарушает условие 2).

- $n=102$: Чётное. Не подходит.

- $n=103$:
1. Нечётное. Подходит.
2. $103 = 3 \times 34 + 1$. Остаток 1. Подходит ($1 \neq 2$).
3. $103 = 5 \times 20 + 3$. Остаток 3. Подходит ($3 \neq 2$).
Все условия выполнены. Следовательно, наименьшее трёхзначное число $n$ равно 103.

Ответ: наименьшее трёхзначное число n - это 103.

Нахождение наибольшего трёхзначного числа n

Наибольшее трёхзначное число — это 999. Будем проверять числа в порядке убывания, начиная с 999.

- $n=999$:
1. Нечётное. Подходит.
2. $999 = 3 \times 333 + 0$. Остаток 0. Подходит ($0 \neq 2$).
3. $999 = 5 \times 199 + 4$. Остаток 4. Подходит ($4 \neq 2$).
Все условия выполнены. Так как мы начали с самого большого трёхзначного числа и оно подошло, то 999 и есть искомое наибольшее число.

Ответ: наибольшее трёхзначное число n - это 999.