Номер 388, страница 79, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

Может ли быть:

а) несократимой дробь, у которой числитель и знаменатель оба делятся на 3;

б) сократимой дробь, у которой числитель и знаменатель оба не делятся на 3;

в) сократимой дробь, у которой числитель делится на 3, а знаменатель не делится на 3;

г) несократимой дробь, у которой числитель делится на 3, а знаменатель не делится на 3?

а) Несократимой называется дробь, у которой числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами, то есть их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Если числитель и знаменатель дроби оба делятся на 3, то у них есть общий делитель 3, который больше 1. Следовательно, такую дробь можно сократить на 3, и она является сократимой. Таким образом, дробь, у которой числитель и знаменатель делятся на 3, не может быть несократимой.

Ответ: нет, не может.

б) Сократимой называется дробь, у которой числитель и знаменатель имеют общий делитель, больший 1. Чтобы дробь удовлетворяла условию, ее числитель и знаменатель должны иметь общий делитель, отличный от 3. Например, рассмотрим дробь $\frac{10}{25}$. Числитель 10 не делится на 3 ($10 = 3 \cdot 3 + 1$), и знаменатель 25 не делится на 3 ($25 = 3 \cdot 8 + 1$). Однако, и числитель, и знаменатель делятся на 5, поэтому дробь является сократимой.

Ответ: да, может. Например, $\frac{10}{25}$.

в) Чтобы дробь была сократимой, ее числитель и знаменатель должны иметь общий делитель, больший 1. По условию, числитель делится на 3, а знаменатель — нет. Это означает, что их общий делитель не может быть равен 3. Возьмем другой общий делитель, например, 2. Пусть числитель делится на 3 и на 2 (то есть на 6), например, 18. Пусть знаменатель делится на 2, но не делится на 3, например, 20. Получим дробь $\frac{18}{20}$. Числитель 18 делится на 3. Знаменатель 20 не делится на 3. Дробь $\frac{18}{20}$ является сократимой, так как ее числитель и знаменатель имеют общий делитель 2.

Ответ: да, может. Например, $\frac{18}{20}$.

г) Чтобы дробь была несократимой, ее числитель и знаменатель не должны иметь общих делителей, кроме 1. Пусть числитель делится на 3, например, возьмем число 9. Пусть знаменатель не делится на 3, например, число 10. Рассмотрим дробь $\frac{9}{10}$. Делители числителя 9: 1, 3, 9. Делители знаменателя 10: 1, 2, 5, 10. Единственный общий делитель — это 1. Значит, дробь $\frac{9}{10}$ является несократимой. При этом ее числитель (9) делится на 3, а знаменатель (10) не делится на 3.

Ответ: да, может. Например, $\frac{9}{10}$.