Номер 387, страница 79, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

387 Составь и реши уравнения.

1) Задуманное число сначала увеличили в 2,5 раза, затем уменьшили в $1\frac{1}{5}$ раза, вычли $\frac{7}{18}$ и получили $1\frac{5}{6}$. Найди задуманное число.

2) Из $6\frac{1}{4}$ вычли задуманное число, а разность увеличили сначала в $1\frac{2}{3}$ раза, а потом в $2\frac{4}{5}$ раза. В результате получилось число, в $5\frac{3}{14}$ раза меньшее числа 146. Какое число задумали?

3) Сумма двух чисел равна $12\frac{4}{11}$, одно из них в 3 раза больше другого. Найди эти числа.

4) К задуманному числу прибавили $4\frac{5}{7}$ и получили число, в 12 раз большее задуманного. Найди задуманное число.

5) Задуманное число увеличили на $\frac{1}{2}$, затем то же самое число увеличили на $2\frac{1}{2}$ и полученные суммы перемножили. В результате получилось число, на $8\frac{1}{4}$ большее квадрата задуманного числа. Какое число задумано?

1) Пусть $x$ — задуманное число. Составим уравнение согласно условию задачи.
Сначала число увеличили в 2,5 раза, получили $2,5x$.
Затем результат уменьшили в $1\frac{1}{5}$ раза: $(2,5 \cdot x) : 1\frac{1}{5}$.
Потом вычли $\frac{7}{18}$: $(2,5 \cdot x) : 1\frac{1}{5} - \frac{7}{18}$.
В итоге получили $1\frac{5}{6}$.
Уравнение имеет вид: $(2,5 \cdot x) : 1\frac{1}{5} - \frac{7}{18} = 1\frac{5}{6}$.
Для решения уравнения переведем все смешанные числа и десятичные дроби в неправильные дроби:
$2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$; $1\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{6}{5}$; $1\frac{5}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{11}{6}$.
Подставим эти значения в уравнение:
$(\frac{5}{2}x) : \frac{6}{5} - \frac{7}{18} = \frac{11}{6}$
Выполним деление (заменим его умножением на обратную дробь):
$\frac{5}{2}x \cdot \frac{5}{6} - \frac{7}{18} = \frac{11}{6}$
$\frac{25}{12}x - \frac{7}{18} = \frac{11}{6}$
Перенесем $\frac{7}{18}$ в правую часть уравнения, изменив знак:
$\frac{25}{12}x = \frac{11}{6} + \frac{7}{18}$
Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 18:
$\frac{25}{12}x = \frac{11 \cdot 3}{18} + \frac{7}{18} = \frac{33+7}{18} = \frac{40}{18} = \frac{20}{9}$
Теперь найдем $x$:
$x = \frac{20}{9} : \frac{25}{12} = \frac{20}{9} \cdot \frac{12}{25}$
Сократим дроби:
$x = \frac{20 \cdot 12}{9 \cdot 25} = \frac{(4 \cdot 5) \cdot (4 \cdot 3)}{(3 \cdot 3) \cdot (5 \cdot 5)} = \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 5} = \frac{16}{15}$
$x = 1\frac{1}{15}$.
Ответ: $1\frac{1}{15}$.

2) Пусть $x$ — задуманное число. Составим уравнение по условию.
Разность числа $6\frac{1}{4}$ и задуманного числа: $6\frac{1}{4} - x$.
Эту разность увеличили в $1\frac{2}{3}$ раза, а потом еще в $2\frac{4}{5}$ раза: $(6\frac{1}{4} - x) \cdot 1\frac{2}{3} \cdot 2\frac{4}{5}$.
Результат равен числу, которое в $5\frac{3}{14}$ раза меньше числа 146, то есть $146 : 5\frac{3}{14}$.
Уравнение: $(6\frac{1}{4} - x) \cdot 1\frac{2}{3} \cdot 2\frac{4}{5} = 146 : 5\frac{3}{14}$.
Решим уравнение. Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$6\frac{1}{4} = \frac{25}{4}$; $1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$; $2\frac{4}{5} = \frac{14}{5}$; $5\frac{3}{14} = \frac{5 \cdot 14 + 3}{14} = \frac{73}{14}$.
Подставим в уравнение:
$(\frac{25}{4} - x) \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{14}{5} = 146 : \frac{73}{14}$
Упростим левую и правую части.
Правая часть: $146 : \frac{73}{14} = 146 \cdot \frac{14}{73} = \frac{146 \cdot 14}{73} = 2 \cdot 14 = 28$.
Левая часть: $(\frac{25}{4} - x) \cdot (\frac{5}{3} \cdot \frac{14}{5}) = (\frac{25}{4} - x) \cdot \frac{14}{3}$.
Получаем упрощенное уравнение:
$(\frac{25}{4} - x) \cdot \frac{14}{3} = 28$
Найдем выражение в скобках:
$\frac{25}{4} - x = 28 : \frac{14}{3} = 28 \cdot \frac{3}{14} = 2 \cdot 3 = 6$
$\frac{25}{4} - x = 6$
Найдем $x$:
$x = \frac{25}{4} - 6 = \frac{25}{4} - \frac{24}{4} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

3) Пусть $x$ — одно из чисел (меньшее). Тогда второе число (большее) равно $3x$, так как оно в 3 раза больше.
Их сумма равна $12\frac{4}{11}$.
Составим уравнение: $x + 3x = 12\frac{4}{11}$.
$4x = 12\frac{4}{11}$
Переведем смешанное число в неправильную дробь:
$12\frac{4}{11} = \frac{12 \cdot 11 + 4}{11} = \frac{132+4}{11} = \frac{136}{11}$.
$4x = \frac{136}{11}$
$x = \frac{136}{11} : 4 = \frac{136}{11 \cdot 4} = \frac{34}{11} = 3\frac{1}{11}$.
Это меньшее число. Найдем второе (большее) число:
$3x = 3 \cdot \frac{34}{11} = \frac{102}{11} = 9\frac{3}{11}$.
Ответ: $3\frac{1}{11}$ и $9\frac{3}{11}$.

4) Пусть $x$ — задуманное число. Составим уравнение.
К задуманному числу прибавили $4\frac{5}{7}$, получили $x + 4\frac{5}{7}$.
Результат оказался в 12 раз больше задуманного числа, то есть $12x$.
Уравнение: $x + 4\frac{5}{7} = 12x$.
Решим уравнение:
$4\frac{5}{7} = 12x - x$
$4\frac{5}{7} = 11x$
Переведем смешанное число в неправильную дробь:
$4\frac{5}{7} = \frac{4 \cdot 7 + 5}{7} = \frac{28+5}{7} = \frac{33}{7}$.
$\frac{33}{7} = 11x$
$x = \frac{33}{7} : 11 = \frac{33}{7 \cdot 11} = \frac{3}{7}$.
Ответ: $\frac{3}{7}$.

5) Пусть $x$ — задуманное число. Составим уравнение.
Задуманное число увеличили на $\frac{1}{2}$, получили $x + \frac{1}{2}$.
То же число увеличили на $2\frac{1}{2}$, получили $x + 2\frac{1}{2}$.
Полученные суммы перемножили: $(x + \frac{1}{2})(x + 2\frac{1}{2})$.
Результат оказался на $8\frac{1}{4}$ больше квадрата задуманного числа, то есть $x^2 + 8\frac{1}{4}$.
Уравнение: $(x + \frac{1}{2})(x + 2\frac{1}{2}) = x^2 + 8\frac{1}{4}$.
Решим уравнение. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$; $8\frac{1}{4} = \frac{33}{4}$.
$(x + \frac{1}{2})(x + \frac{5}{2}) = x^2 + \frac{33}{4}$
Раскроем скобки в левой части:
$x \cdot x + x \cdot \frac{5}{2} + \frac{1}{2} \cdot x + \frac{1}{2}\cdot\frac{5}{2} = x^2 + \frac{33}{4}$
$x^2 + \frac{5}{2}x + \frac{1}{2}x + \frac{5}{4} = x^2 + \frac{33}{4}$
Приведем подобные слагаемые:
$x^2 + (\frac{5}{2} + \frac{1}{2})x + \frac{5}{4} = x^2 + \frac{33}{4}$
$x^2 + \frac{6}{2}x + \frac{5}{4} = x^2 + \frac{33}{4}$
$x^2 + 3x + \frac{5}{4} = x^2 + \frac{33}{4}$
Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения:
$3x + \frac{5}{4} = \frac{33}{4}$
$3x = \frac{33}{4} - \frac{5}{4}$
$3x = \frac{28}{4}$
$3x = 7$
$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$.
Ответ: $2\frac{1}{3}$.